Программа вступительного экзамена в аспирантуру по направлению 01.06.01 «Математика и механика»

Направленность:
01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела

1. Механика и термодинамика сплошных сред

1.1. Понятие сплошной среды. Кинематика сплошной среды в переменных Эйлера и Лагранжа. Переход от координат Эйлера к координатам Лагранжа и обратно.

1.2. Деформация сплошной среды. Тензоры деформации Коши-Грина и Альманси, геометрический смысл компонент этих тензоров. Малые деформации и малые вращения среды. Условия совместности деформаций, формулы Чезаро.

1.3. Типы сил в механике сплошной среды: внешние и внутренние силы, массовые и поверхностные силы. Теория напряженного состояния, тензоры напряжений Коши и Пиолы-Кирхгофа. Геометрическая интерпретация напряженного состояния: круги Мора. Простейшие виды напряженных состояний.

1.4. Интегральная и дифференциальная форма законов сохранения массы, импульса, момента импульса и энергии.

1.5. Термодинамика сплошной среды. Работа, количество тепла, внутренняя энергия, температура и энтропия термодинамической системы. Первый и второй законы термодинамики.

2. Теория упругости

2.1. Упругая деформация твердых тел. Упругий потенциал и энергия деформации. Линейно упругое тело Гука. Понятие об анизотропии упругого тела. Закон Гука для изотропного и анизотропного твердого тела. Тензор упругих модулей. Упругие модули изотропного тела, их механический смысл.

2.2. Полная система уравнений теории упругости. Уравнения Ламе в перемещениях. Уравнения Бельтрами-Митчелла в напряжениях. Постановка краевых задач математической теории упругости. Теорема существования и единственности решения. Принцип Сен-Венана.

2.3. Общие теоремы теории упругости и вариационные принципы. Теорема Клапейрона. Теорема Бетти. Теорема о минимуме потенциальной энергии деформаций (вариационный принцип Лагранжа). Теорема о минимуме дополнительной энергии (вариационный принцип Кастильяно).

2.4. Методы решения пространственных задач эластостатики. Действие сосредоточенной силы в неограниченной упругой среде. Тензор фундаментальных решений Грина. Задача Буссинеска.

2.5. Двумерные задачи эластостатики. Плоская деформация. Обобщенное плоское напряженное состояние. Функции напряжений Эри, краевая задача для функции напряжений. Метод комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили. Примеры решений.

2.6. Теория тонких упругих пластин и оболочек. Основные гипотезы. Деформация срединной поверхности. Внутренние усилия и моменты. Граничные условия. Постановка задач теории пластин и оболочек. Безмоментная теория.

2.7. Температурные задачи теории упругости. Закон Дюамеля-Неймана. Система основных уравнений термоупругости. Методы решения задач термоупругости.

2.8. Динамические задачи теории упругости. Уравнения движения в форме Ламе. Типы упругих волн в неограниченной изотропной среде. Плоские гармонические волны. Коэффициенты отражения и прохождения. Поверхностные волны Рэлея. Волны Лява. Волны в упругом стержне. Собственные частоты упругих тел. Формула Рэлея.

3. Теория пластичности

3.1. Пластическое деформирование твердых тел. Предел текучести. Остаточные деформации. Идеальная пластичность. Физические механизмы пластичности. Дислокации. Локализация пластических деформаций. Линии Людерса-Чернова.

3.2. Модели идеального упругопластического и жесткопластического тела. Критерий текучести и поверхность текучести в пространстве напряжений. Критерий Треска, критерий Мизеса. Геометрическая интерпретация условий текучести в пространстве главных напряжений.

3.3. Модели упрочняющегося упругопластического и жесткопластического тела. Параметр упрочнения и поверхность нагружения.

3.4. Теория пластического течения. Принцип Мизеса, постулат Друккера. Ассоциированный закон течения. Краевые задачи теории течения.

3.5. Теория предельного равновесия. Статическая и кинематическая теоремы теории предельного равновесия. Верхние и нижние оценки. Примеры.

3.6. Кручение призматического тела за пределом упругости. Предельное состояние при кручении. Поверхность напряжений как поверхность естественного ската. Аналогия Прандтля-Надаи.

3.7. Пластическое плоское деформированное состояние. Уравнения для напряжений и скоростей. Характеристики. Свойства линий скольжения. Задача Прандтля о вдавливании штампа.

3.8. Деформационная теория пластичности Генки-Ильюшина. Метод упругих решений. Задача о толстостенной трубе под действием внутреннего давления.

3.9. Упругопластические волны в стержне. Ударное нагружение. Волна разгрузки. Остаточные деформации.

4. Теория вязкоупругости и ползучести

4.1. Понятие о ползучести и релаксации. Кривые ползучести и релаксации. Простейшие модели линейно вязкоупругих сред: модель Максвелла, модель Кельвина- Фойхта. Время релаксации.

4.2. Определяющие соотношения теории вязкоупругости. Ядра ползучести и релаксации.

4.3. Формулировка краевых задач теории вязкоупругости. Методы решения краевых задач теории вязкоупругости: принцип соответствия Вольтерра, применение интегрального преобразования Лапласа.

4.4. Теории старения, течения, упрочнения и наследственности. Ползучесть при сложном напряженном состоянии. Определяющие соотношения.

5. Механика разрушения

5.1. Понятие о разрушении и прочности тел. Общие закономерности и основные типы разрушения. Концентраторы напряжений. Критерии разрушения. Критерии длительной и усталостной прочности. Коэффициент запаса.

5.2. Скорость высвобождения энергии при продвижении трещины в упругом теле. Энергетический подход Гриффитса. Силовой подход в механике разрушения. Эквивалентность подходов в случае хрупкого разрушения. Формула Ирвина.

5.3. Двумерные задачи о трещинах в упругом теле. Коэффициенты интенсивности напряжений, методы их вычисления и оценки.

5.4. J-интеграл Эшелби-Черепанова-Райса и его инвариантность. Вычисление потока энергии в вершину трещины.

5.5. Локализованное пластическое течение у вершины трещины. Модель трещины Леонова-Панасюка-Дагдейла с узкой зоной локализации пластических деформаций.

6. Численные методы решения задач механики деформируемого твердого тела

6.1. Метод конечных разностей. Типичные разностные схемы для параболических, эллиптических и гиперболических уравнений. Метод конечных разностей для дифференциальных уравнений теории упругости.

6.2. Вариационный принцип минимума полной потенциальной энергии упругого тела. Методы Рэлея-Ритца и Бубнова-Галеркина в задачах минимизации функционала полной потенциальной энергии.

6.3. Метод конечных элементов в теории упругости. Пределы применимости метода конечных элементов.

6.4. Формула Сомильяны и метод граничных интегральных уравнений (метод граничных элементов).

6.5. Метод характеристик в двумерных задачах теории пластичности. Область влияния и область зависимости решения гиперболической краевой задачи.

6.6. Понятие о вычислительном эксперименте. Использование вычислительного эксперимента для решения задач механики деформируемого твердого тела.

Основная литература

1. Астафьев В. И., Радаев Ю. Н., Степанова Л. В. Нелинейная механика разрушения. Самара: Изд-во «Самарский университет», 2001. (ИВМ)
2. Быковцев Г. И., Ивлев Д. Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука, 1998.
3. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. М.: Наука, 1977. (ИВМ)
4. Годунов С. К. Элементы механики сплошной среды. М.: Наука, 1978. (ИВМ)
5. Годунов С. К., Забродин А. В., Иванов М. Я., Крайко А. Н., Прокопов Г. П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976. (ИВМ)
6. Горшков А. Г., Старовойтов Э. И., Тарлаковский Д. В. Теория упругости и пластичности. М.: Физматлит, 2002. (ИВМ)
7. Ивлев Д. Д. Механика пластических сред: Т. 1. Теория идеальной пластичности. М.: Физматлит, 2001. (ИВМ)
8. Ивлев Д. Д. Механика пластических сред: Т. 2. Общие вопросы. Жесткопластическое и упругопластическое состояние тел. Упрочнение. Деформационные теории. Сложные среды. М.: Физматлит, 2002. (ИВМ)
9. Ишлинский А. Ю., Ивлев Д. Д. Математическая теория пластичности. М.: Физматлит, 2001. (ИВМ)
10. Качанов Л. М. Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974.
11. Партон В. З., Морозов Е. М. Механика упругопластического разрушения. М.: Наука, 1985. (ИВМ)
12. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. (ИВМ)
13. Работнов Ю. Н. Введение в механику разрушения. М.: Наука, 1987. (ИВМ)
14. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование. М.: Наука, 1997. (ИВМ)
15. Седов Л. И. Механика сплошной среды. В 2-х томах. Санкт-Петербург: Изд-во «Лань», 2004. (ИВМ)
16. Селиванов В. В. Прикладная механика сплошных сред. В 3 томах. Том 2: Механика разрушения деформируемого тела. Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006. (ИВМ)

Дополнительная литература

1. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. М.: Мир, 1982. (ИВМ)
2. Бураго Н. Г. Вычислительная механика. М.: Изд-во МГТУ им Н. Э. Баумана, 2007.
3. Годунов С. К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1979.
4. Горшков А. Г., Медведский А. Л., Рабинский Л. Н., Тарлаковский Д. В. Волны в сплошных средах. М.: Физматлит, 2004. (ИВМ)
5. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. М.: Мир, 1989. (ИВМ)
6. Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1990. (ИВМ)
7. Клюшников В. Д. Математическая теория пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1979.
8. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. М.: Мир, 1974.
9. Куликовский А. Г., Погорелов Н. В., Семенов А. Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физматлит, 2001. (ИВМ)
10. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. (ИВМ)
11. Мосолов П. П., Мясников В. П. Механика жесткопластических сред. М.: Наука, 1981. ИВМ
12. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. ИВМ
13. Новацкий В. К. Волновые задачи теории пластичности. М.: Мир, 1978. ИВМ
14. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966.
15. Садовский В. М. Разрывные решения в задачах динамики упругопластических сред. М.: Физматлит, 1997. (ИВМ)
16. Садовский В. М. Методы решения вариационных задач механики. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1998. (ИВМ)
17. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989. (ИВМ)
18. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. (ИВМ)
19. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1965.
20. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975.
21. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. (ИВМ)