01.06.01 Математика и механика Обязательная программа для поступающих в аспирантуру ИВМ СО РАН по специальности 01.02.06 «Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры»

1. Напряженное состояние

Понятие напряжений в точке. Вектор напряжений. Тензор напряжений. Определение напряжений на произвольно ориентированной площадке. Главные напряжения. Определение положения главных площадок и отыскание величин главных напряжений. Инварианты напряжений. Напряжения на октаэдрических площадках. Разложение тензора напряжений на шаровой тензор и девиатор.

2. Деформированное состояние

Понятие деформации. Вектор перемещения. Тензор перемещений и деформаций. Определение деформаций на произвольно ориентированной площадке. Главные удлинения. Главные оси деформации. Разложение тензора напряжений на шаровой тензор и девиатор. Понятие малой и конечной деформации. Условие совместности. Тензор скоростей деформаций. Инварианты тензора скоростей деформаций.

3. Связь между напряжениями и деформациями

Понятие об определяющих уравнениях. Упругость, вязкоупругость, пластичность, ползучесть. Изотропные и анизотропные среды. Упругий потенциал. Закон Гука. Упругие постоянные. Определяющие уравнения для неупругих сред. Условия текучести (Треска- Сен-Венана и Мизеса). Идеальная пластичность. Понятие упрочнения. Ассоциированный закон течения. Постулат Друккера. Изотропное упрочнение. Теория пластического течения. Деформационная теория пластичности.

4. Основные соотношения. Общие теоремы.

Дифференциальные уравнения движения и равновесия в перемещениях. Уравнения движения в перемещениях. Уравнения Бельтрами. Обобщенные силы и обобщенные перемещения. Начало возможных перемещений для деформируемого тела. Вариационное уравнение Лагранжа. Теорема о минимуме энергии. Теорема Кастильяно. Теорема взаимности. Методы Ритца и Бубнова-Галеркина. решение задач теории упругости и пластичности. Теорема единственности.

5. Плоская задача теории упругости и пластичности

Плоская деформация. Плоское напряженное состояние Функция Эри. Ее комплексно6е представление. Метод конформных отображений. Функция Эри в полярных координатах. Задача Ляме. Упруго-пластическая толстостенная цилиндрическая труба под внутренним давлением. Плоская деформация в случае идеальной пластичности. Линии скольжения, их свойства.

6. Кручение и изгиб

Упруго-пластическое кручение призматических стержней. Полу-обратный метод Сен-Венана. Эллиптическое поперечное сечение. Кручение стержня прямоугольного сечения.

Чистый и поперечный изгиб. Гипотеза плоских сечений. Изгибающие моменты и перерезывающие силы. Дифференциальные соотношения между интенсивностью нагрузки, перерезывающей силой и изгибающим моментом. Нормальные и касательные напряжения при изгибе. Дифференциальное уравнение изогнутой оси. Интегрирование уравнения изгиба.

7. Механика композиционных материалов

Композиционные материалы, армированные непрерывным волокном. Реализация прочности волокон в композите. Модель Розена. Теория упругости анизотропных сред. Плоская задача. Коэффициент интенсивности напряжений около кончика трещины. Прочность композитов при растяжении, сжатии и изгибе. Влияние концентрации напряжений на предельную нагрузку.

8. Динамические задачи теории упругости

Понятие динамического нагружения. Упругие волны в неограниченной среде. Два типа волн. Поверхностные волны Релея.

9. Трехмерные задачи теории упругости

Задача о действии сосредоточенной силы на полупространство. Решения Кельвина и Буссинеска-Папковича. Задача Герца о давлении двух соприкасающихся тел. Осесимметрическая деформация тела вращения. Температурные напряжения.

Литература

Ю. А. Аменадзе. Теория упругости. — М.: Высшая школа, 1976
Л. М. Качанов. Основы теории пластичности. — М.: Наука, 1989.
Пестриков В. М., Морозов Е. М. Механика разрушения твердых тел: курс лекций. — СПб.: Профессия, 2002.
Композиционные материалы. В 8 томах. Изд-во «МИР» под ред. Л. Браутмане и Р. Крока.

Зам. директора Института
д.т.н., профессор
Москвичев В. В.