Программа вступительного экзамена в аспирантуру ИВМ СО РАН по направлению 09.06.01 «Информатика и вычислительная техника»

Направленность:
Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1. Математический анализ

Теория пределов. Основные теоремы о непрерывных функциях одного аргумента. Теорема о среднем. Теорема о неявной функции. Формула Тейлора. Основные теоремы интегрального исчисления: замена переменных, метод интегрирования по частям, интегрирование рациональных функций. Числовые ряды: признаки сходимости знакопостоянных и знакопеременных рядов. Функциональные ряды. Степенные ряды. Ряд Фурье и вычисление его коэффициентов. Элементы теории функций нескольких переменных: предел, непрерывность, дифференцируемость. Необходимые и достаточные условия существования экстремума функции в точке. Кратный и повторный интегралы, вычисление площадей и объёмов.

2. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения и нормальной системы. Линейное уравнение n-го порядка. Построение общего решения линейного уравнения. Неоднородные линейные системы. Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

3. Алгебра

Комплексные числа, поля. Определители n-го порядка. Основные методы вычислений определителей. База и ранг системы векторов. Координаты вектора в базисе. Преобразование координат векторов при смене базиса пространства. Операции над матрицами. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Общее решение системы линейных уравнений. Связь решений общей и однородной систем линейных уравнений. Однородные системы (пространство решений, фундаментальные системы решений). Собственные векторы и собственные числа матрицы. Корни полиномов. Разложение многочлена на неприводимые множители. Основная теорема о многочленах с комплексными коэффициентами.

4. Аналитическая геометрия

Системы координат на прямой, плоскости и в пространстве. Формулы замены координат при переходе от одной декартовой системы координат к другой. Геометрия евклидового пространства: вычисление скалярных произведений, длин отрезков, углов. Линии и поверхности 1-го и 2-го порядка.

5. Теория вероятностей и математическая статистика

Предмет теории вероятностей: случайные события и случайные величины. Аксиоматика пространства событий. Независимость событий. Условные вероятности. Законы распределения и числовые характеристики случайных величин (дисперсия и математическое ожидание). Выборка и методы ее представления. Числовые характеристики выборочного распределения (мода, медиана, среднее, дисперсия). Неравенство Чебышева. Закон больших чисел

6. Численные методы

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений: метод Гаусса, метод простых итераций, метод Зейделя. Интерполяционные многочлены Ньютона, Лагранжа и Эрмита. Численное дифференцирование и интегрирование. Метод конечных разностей решения обыкновенных дифференциальных уравнений, основные понятия (аппроксимация, устойчивость).

7. Вычислительный эксперимент

Принципы проведения вычислительного эксперимента. Модель, алгоритм, программа.

8. Алгоритмические языки

Представление о языках программирования высокого уровня. Пакеты прикладных программ.

Литература

1. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа (в двух томах). М.: Наука, 1960.
2. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 2009.
3. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1971 г
4. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 1974.
5. Боровков А. А. Теория вероятностей. М.: Наука, 2009.
6. Боровков А. А. Математическая статистика. М.: Наука, 2007.
7. Калиткин Н. Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.
8. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование. М.: Физматлит, 2001.
9. Математическое моделирование / Под ред. А. Н. Тихонова, В. А. Садовничего и др. М.: Изд-во МГУ, 1993.
10. Кукуджанов В. Н. Численные методы в механике сплошных сред. Курс лекций. М.: МАТИ, 2006.
11. Киреев В. И., Пантелеев А. В. Численные методы в примерах и задачах. М.: Высшая школа, 2008.
12. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Физматлит, 2004.
13. В. Е. Карпов, К. А. Коньков. Основы операционных систем: курс лекций. Учебное