Отчет ИВМ СО РАН за 2007 год

Программы РАН

• Президиум РАН
• Отделение математических наук
• Отделение физических наук
• Отделение наук о Земле

Отделение математических наук

Программа № 1.3 «Современные вычислительные и информационные технологии решения больших задач»

Руководитель: чл.-корр. РАН В. В. Шайдуров

Моделирование поверхностных волн в акваториях в пределах приемлемой точности описывается в рамках теории мелкой воды. Задача рассмотрена с учетом сферичности Земли и сил Кориолиса. Число Россби (отношение силы инерции к силе Кориолиса) считается малым, что позволило пренебречь нелинейными слагаемыми за исключением членов, учитывающих донное трение.

Рассмотренная модель допускает решение как прямой задачи для уравнений мелкой воды (т.е. по известным краевым и начальным данным восстанавливать вектор скорости и возвышение свободной поверхности во всей акватории), так и решать задачу о восстановлении решения по наблюдениям за возвышением свободной поверхности на границе области. В последнем случае методом последовательных приближений восстанавливается неизвестная функция в граничных условиях, так, чтобы прямое решение задачи на границе, где заданы наблюдаемые значения свободной поверхности, в некотором смысле было близко к известному. Для этого на каждом временном слое необходим итерационный процесс последовательного решения прямой и обратной задач для дискретизированной по времени исходной системы с уточнением на каждой итерации граничных условий.

Для модели проведены дискретизации по времени и пространству на основе метода конечных элементов с билинейными на каждом треугольнике базисными функциями и последующим применением квадратурных формул.

Создано, отлажено и протестировано программное обеспечение, реализующее решение как прямой задачи, так и задачи с усвоением данных наблюдений.

Для исследования скорости сходимости итерационного процесса восстановления граничной функции по данным наблюдений было проведено три численных эксперимента.

В первом эксперименте параметр регуляризации α полагался равным нулю, задавались «наблюдения» на жидкой части границы, т.е точно определялось возвышение свободной поверхности ξ_obs. Затем проводилось восстановление граничной функции d. Восстановленная функция d принималась за «точную» граничную функцию, и далее, используя данные наблюдений ξ_obs, проводилось повторное восстановление d с вычислением относительной и абсолютной погрешностей восстанавливаемых функций d_num и ξ_num на границе (рис. 37).

Рис. 37. Зависимость относительных погрешностей от числа итераций

Во втором и третьем экспериментах считалась известной граничная функция d, для которой путем решением прямой задачи определялось «точное» решение ξ, значения которого на границе принимались за наблюдаемые ξ_obs. Далее используя данные наблюдений проводилось повторное восстановление d с вычислением относительной погрешности восстанавливаемых функций, а также равномерных норм абсолютной погрешности. Во втором эксперименте параметр регуляризации полагался равным нулю, в третьем эксперименте параметр регуляризации отличался от нуля.

Экстраполяция Ричардсона позволяет повысить точность численного решения, проводя вычисления для нескольких последовательных не очень малых значений параметра регуляризации, а затем комбинируя полученные решения. Сходимость численного метода при малых значениях параметра регуляризации ухудшается, если наблюдения ξ_obs заданы на части жидкой границы. Кроме того, замедляет сходимость при малых значениях α наличие случайных ошибок, вносимых при измерении ξ_obs. Поэтому использование экстрополяции Ричардсона для повышения точности расчетов оправдана.

Для численных экспериментов по экстраполяции использовалась сетка, построенная только для той части Мирового океана, где глубины не менее 200~м. Сетка состоит из 4709 узлов и 8358 треугольных элементов. В качестве точного решения и для задания соответствующих данных наблюдений рассматривалось численное решение прямой задачи при заданной граничной функции d. Далее для разных значений параметра регуляризации α проводилось восстановление функции d. В качестве начального приближения бралась d = 0 на всей границе. На рис. 38 приведен вид заданной и восстановленной функций d на границах Мирового океана при α = 5e − 5.

Рис. 38. Заданная и восстановленная функция d

Для различных значений параметра α проводилось фиксированное количество итераций уточнения d. Экстраполяция Ричардсона проводилась по двум и трем решениям для последовательных значений параметра оптимизации α. Экстраполяция показала свою эффективность, но требуется продолжение исследований.

Подготовлена также версия программы для расчетов на массивно-параллельных компьютерах с общей памятью.

Основные публикации:

1. Agoshkov V. I., Kamenshchikov L. P., Karepova E. D., Shaidurov V. V.
   Numerical solution of some direct and inverse mathematical problems for tidal flows // Notes on Numerical Fluid Mechanics and Multidisciplinary Design. — Springer (принята к печати).

2. Каменщиков Л. П., Карепова Е. Д., Шайдуров В. В.
   Моделирование распространения крупномасштабных волн в морях и океанах с параллельной реализацией // Тр. IV Сибирской школы-семинара по параллельным и высокопроизводительным вычислениям (принята к печати).

(Отдел вычислительной математики)