Отчет ИВМ СО РАН за 1998 год

Программы фундаментальных исследований Сибирского Отделения Российской Академии Наук

• Программы фундаментальных исследований Сибирского Отделения Российской Академии Наук
• Тема: «Алгебро-логические и теоретико-множественные исследования дискретных и случайных систем».
• Тема: «Вычислительные методы решения дифференциальных уравнений».
• Программа 5."Математическое моделирование,информационные технологии и вычислительная техника"

№ гос. регистрации 01.96 0.0 05365.

Научные руководители:
д.ф.-м.н., проф. Андреев В. К.; д.ф.-м.н., проф. Воробьев О. Ю.; д.ф.-м.н., проф. Шунков В. П..

Вычислена оптимальная система подалгебр θ для уравнений неоднородной тяжелой жидкости, которая содержит 72 представителя. В результате получены 72 системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Некоторые из них проинтегрированы явно (Андреев В. К., Родионов А. А.).

Созданы программы, позволяющие выписывать обобщенные определяющие уравнения. С их помощью получены дифференциальные связи, совместные с уравнениями диффузионного типа. Проведена классификация систем типа «реакция — диффузия», редуцируемых с помощью дифференциальных подстановок к одному уравнению первого или второго порядка (Капцов О. В., Шмидт А. В.).

Предложено обобщение известного преобразования Дарбу для уравнения Кортевега — де Фриза. Это преобразование позволяет находить решения данного уравнения, выражающиеся через элементарные функции. Найденные решения можно рассматривать как сингулярные вырождения солитонов (Рисунок) (Капцов О. В., Шанько Ю. В.).

Охарактеризован класс T₀-групп, тесным образом связанный со свободными бернсайдовскими группами нечетного периода ≥ 665. Кроме того, охарактеризованы также конечные группы в классе всех групп и почти слойно конечные группы в классе бинарно разрешимых сопряженно бипримитивно конечных групп.

Для любого (в отдельных случаях бесконечного) набора конечно порожденных периодических групп с не более, чем r порождающими каждая, построена r-порожденная периодическая группа с гомоморфизмами на данные группы. В рамках этой конструкции исследовано взаимное расположение конкретных гомоморфных образов — 3-порожденных 2-групп Голода и Григорчука. Построен пример группы, разложимой в обобщенно равномерное произведение своих подгрупп, которая не может быть представлена в виде полупрямого произведения двух нильпотентных холловых подгрупп. Разделены классы групп, разложимых в равномерное и обобщенно равномерное произведение подгрупп (Шунков В. П., Сенашов В. И.).

Построены предельные распределения случайных конечных абстрактных множеств и проведены исследования по их применению в решении задач прогнозирования и восстановления случайно — множественных процессов.

Исследованы субнормальные распределения случайных конечных абстрактных множеств. Построены характеризации этих распределений с помощью случайных конечных абстрактных множеств постоянной мощности. Исследованы методы представления распределений случайных конечных абстрактных множеств через вероятности покрытия точек и дуплетов (Воробьев О. Ю.,Новоселов А. А.).

:

1. Andreev V. K., Kaptsov O. V., Pukhnachov V. V., Rodionov A. A.
   Applications of Group- Theoretical Methods in Hydrodynamics. — Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 1998. — 408 p.

2. Капцов О. В.
   Некоторые классы двумерных стационарных вихревых структур в идеальной жидкости // ПМТФ. — 1998. — № 4. — С. 50-53.

3. Шмидт А. В.
   Точные решения систем уравнений типа «реакция-диффузия» // Вычислительные технологии. — 1998. — T.3. — № 4. — С. 87-94.

4. Шанько Ю. В.
   Об одном расширении преобразований Дарбу // Симметрия в естествознании. Тезисы докладов Международной конференции. — Красноярск, 1998. — С. 147–149.

5. Андреев В. К., Родионов А. А.
   Инвариантные подмодели ранга два для уравнений неоднородной тяжелой жидкости // Дифференциальные уравнения. — 1998. — Т. 34. — № 8. — С. 1082–1091.

6. Андреев В. К., Родионов А. А.
   О некоторых нелинейных волнах в неоднородной жидкости // Вычислительные технологии. — 1997. — Т. 2. — № 6. — С. 3-11.

7. Шунков В. П.
   Об одном классе групп с инволюциями (T₀-группы) // Математические труды. — 1998. — Т. 1. — № 1. — С. 139–202.

8. Сенашов В. И.Об одном вопросе Шункова В. П.
   // Сиб. мат. журн. — 1998. — Т. 39. — № 5. — C. 1154–1156.

9. Senashov V. I.
   Characterization of Generalized Chernikov Groups Among Groups With Involutions // Mathematical Notes. — 1997. — Vol. 62. — № 4. — P. 480–487.

10. Сенашов В. И.
    О почти слойно конечных группах // Тезисы докладов на Международной алгебраической конференции памяти Куроша А. Г. М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 1998. — С. 210–211.

11. Тимофеенко А. В.
    О конечно порожденных периодических группах // Исследования по математическому анализу и алгебре. — Томск: Изд-в Том. ун-та, 1998. — С. 202–207.

12. Воробьев О. Ю., Куприянова Т. В.
    О субнормальных случайных множествах и их применении. Записки ФАМ семинара. — Красноярск: 1997. — Препринт / ИВМ СО РАН. — № 11. — C. 97–116.

13. Воробьев О. Ю.
    Случайно — множественные инструменты в исследовании математических проблем, связанных с рисками. Записки ФАМ семинара. — Красноярск: 1997. — Препринт / ИВМ СО РАН. — № 11. — С. 5-37.

14. Novosyolov A. A.
    Attraction area for paths of an aggregate risk process. Singapore International Insurance and Actuarial Journal. — Vol. 2. — № 1. — 1998. — C. 139–145.

15. Новоселов А. А.
    Агрегированный процесс риска. Записки ФАМ семинара, 1, Красноярск: 1997. — Препринт / ИВМ СО РАН. — № 11. — C. 69-76.

№ гос. регистрации 01.96 0.0 05366.

Научные руководители:
чл.-корр. РАН Шайдуров В. В., д.ф.-м.н., проф. Новиков Е. А..

Построены, теоретически обоснованы и численно апробированы каскадные многосеточные итерационные алгоритмы с оптимальной вычислительной сложностью для решения сеточных аналогов эллиптических уравнений второго порядка со слабой нелинейностью в правой части. Линеаризация осуществлялась на основе полного метода Ньютона и метода с замороженной производной. Обоснование проведено для симметричного положительно определенного и знакопеременного эллиптического оператора. (Шайдуров В. В., Гилева Л. В., Тиммерманн Г. (Дрезденский технический ун-т)).

Для уравнений в частных производных второго порядка эллиптического и параболического типа построены новые неоднородные устойчивые разностные схемы четвертого порядка точности (Быкова Е. Г., Шайдуров В. В.).

С применением оценки глобальной ошибки построены алгоритмы интегрирования жестких неавтономных систем на основе (m,k)-методов третьего порядка точности (Новиков Е. А.).

Обоснован ряд каскадных итерационных методов на последовательности сеток для решения сеточных аналогов линейных трехмерных краевых задач для эллиптичеких уравнений и систем второго порядка. Получены оценки, гарантирующие наименьший показатель степени зависимости числа арифметических операций от числа неизвестных (Гилева Л. В., Шайдуров В. В.).

:

1. Шайдуров В. В.
   О каскадной организации итерационных алгоритмов // ДАН. — 1998. — Т. 359. — № 5. — С. 600–603.

2. Гилева Л. В.
   Каскадный многосеточный алгоритм в методе конечных элементов для трехмерной задачи Дирихле // Сибирский журнал вычислительной математики. — 1998. — Т. 1. — № 3. — С. 217–226.

3. Gilyova L. V., Shaidurov V. V.
   A cascade algorithm for solving a discrete analogue of weakly nonlinear elliptic equation // Preprint IOKOMO-01-98, Dresden Tehnical University.