Отчет ИВМ СО РАН за 2011 год

Программа III.19.1. Математические проблемы нелинейных моделей движения сложных сред

Научный руководитель проекта: д.ф.-м.н., проф. В. К. Андреев

1. Исследовано совместное движение трех вязких жидкостей в плоском слое, взаимодействующих через две поверхности раздела. Движение вызывается нестационарным заданным градиентом давления в одной из жидкостей; на твердых стенках выполнены условия прилипания. Процесс моделирует движение жидкости в слое с учетом смазки на стенках. Установлены априорные оценки сопряженной начально-краевой задачи, описывающей этот процесс. Показано, в частности, что если градиент давления стремится к нулю при $t\to \infty, $ то и скорости в слоях стремятся к нулю с ростом времени по экспоненциальному закону, причем показатель экспоненты зависит от физических свойств жидкостей и толщин слоев. Имеет место стабилизация движения с ростом времени.

2. При производстве микробаллонов возникает вопрос об устойчивости сферической формы. В связи с этим изучена устойчивость нелинейных периодических колебаний сферического слоя идеальной жидкости. Внутренняя полость слоя наполнена пассивным газом, давление в котором распределено по адиабатическому закону, а давление вне слоя постоянно. Таким образом, исследуется устойчивость основного нестационарного движения с двумя сферическими поверхностями раздела. В силу высокой симметрии основного движения уравнения малых возмущений удалось проинтегрировать внутри слоя и получить линейную систему уравнений для амплитуд возмущений границ слоя. Численное исследование этой системы показывает, что при нулевом номере сферической гармоники наблюдаются периодические возмущения. С ростом номера гармоники и начальной толщины слоя амплитуда возмущений растет; поверхностное натяжение влияет только на период колебаний.

Доказано также, что равновесное состояние слоя является устойчивым: происходят колебания вокруг этого равновесия.

3. Приводятся результаты численного моделирования двухфазного течения для различных аспектных отношений, полученные в рамках подготовки эксперимента JEREMI. Геометрия рассматриваемой задачи представляет собой цилиндрический и недеформируемый жидкий мост, окруженный соосным каналом газа, в условиях отсутствия гравитации. Термокапиллярная конвекция (Марангони) в жидком мосте (Pr = 68) исследуется для случая, при котором граница раздела сред обдувается соосным потоком газа. Направление потока газа противоположно действию конвекции Марангони.

Параметрами, контролирующими рассматриваемую систему, являются скорость потока газа Ug${}_{0}$, разница температур $\Delta $T между цилиндрами в жидком мосте и аспектное отношение Г, определяющее отношение длины жидкого моста к его радиусу. В случае, когда поток газа направлен с холодной стороны жидкого моста, происходит охлаждение границы раздела сред ниже температуры в приповерхностном слое жидкости, что приводит, в определенном диапазоне параметров задачи, к появлению неустойчивости, связанной с перепадом температуры в направлении, перпендикулярном к поверхности раздела. Представленные результаты демонстрируют влияние аспектного отношения на существование и характерные свойства колебательного режима.

На рис. III.1 показано распределение температуры и функции тока, характерное для колебательного режима. Структура течения в жидкости состоит из трех вихрей, где крайние вихри образуются под действием термокапиллярной конвекции за счет больших градиентов температуры у стенок жидкого моста, а средний вихрь — воздействием потока газа вдоль поверхности раздела. За время периода колебаний средний вихрь образуется вблизи горячего стержня и движется по направлению к холодному стержню жидкого моста.

Рис. III.1. Температура и функция тока колебательного режима при $\Delta $T= 20 К, Ug${}_{0}$ = 3 м/с, аспектное отношение Г = 1.5

На рис. III.2 показана зависимость частоты колебаний в жидкости от скорости потока газа для жидких мостов различной длины. Видно, что частота колебаний растет при увеличении скорости потока, обдувающего жидкий мост. При этом область существования колебательного режима существенно зависит от длины поверхности раздела: с увеличением аспектного отношения колебательный режим начинается при меньших значениях скорости потока газа, что связано с уменьшением градиента температуры вдоль поверхности раздела. Следует отметить также существование разрывов на кривых для аспектных отношений Г = 1 и Г = 1.5. Наличие данных разрывов связано со сменой колебательного режима, когда происходит изменение структуры течения от трехвихревой к четырехвихревой, где дополнительный вихрь образуется у холодной стенки жидкого моста за счет усиления набегающего потока газа, охлаждающего жидкость на поверхности раздела, и препятствует возникновению существенных градиентов температуры.

Рис. III.2. Зависимость частоты колебательно режима от скорости газа при $\Delta $T= 20 К для жидких мостов различного аспектного отношения

1. Проведена групповая классификация уравнений движения двумерного слоя идеальной жидкости относительно функции $H(x,t)$, описывающей толщину слоя жидкости со свободной границей. Найдены координаты оператора $X=\xi ^{i} \partial /\partial x^{i} +\eta ^{\alpha } \partial /\partial u^{\alpha } $ ($x^{1} =x,$ $x^{2} =y,$ $x^{3} =t,$ $u^{1} =u,$ $u^{2} =v,$ $u^{3} =p$): \[\xi ^{1} =\alpha ^{1} x+\beta (t),\quad \xi ^{2} =\alpha ^{1} \xi ,\quad \xi ^{3} =c^{4} t+c^{5} ,\] \[\eta ^{1} =H\frac{\partial \beta }{\partial t} +u(c^{0} -c^{4} -\alpha ^{1} ),\] \[\eta ^{2} =\xi [-H_{3} (c^{0} -c^{4} -2\alpha ^{1} )+H_{31} \xi ^{1} +H_{33} \xi ^{3} ]+w[c^{0} -c^{4} -\alpha ^{1} ],\] \[\eta ^{3} =2(\alpha ^{1} -c^{4} )p+h^{3} (x,t).\]

Здесь $\alpha ^{1} $, $c^{0} $, $c^{4} $, $c^{5} ={\rm const,}$ $\beta =\beta (t)$, $h^{3} =-x\partial ^{2} \beta /(\partial t)^{2} +\alpha ^{3} (t)$, $\alpha ^{3} $, $\beta $ — произвольные функции. При этом функция $\textit{H}$ есть решение двух определяющих уравнений: \begin{equation} \label{EQ__1_} \xi ^{1} \frac{H_{x} }{H} +\xi ^{3} \frac{H_{t} }{H} =c^{0} -2\alpha ^{1} , \end{equation} \begin{equation} \label{EQ__2_} \xi ^{1} \mathop{\left(\frac{H_{xt} }{H} \right)}\nolimits_{x} +\xi ^{3} \mathop{\left(\frac{H_{xt} }{H} \right)}\nolimits_{t} +(c^{4} +\alpha ^{1} )\frac{H_{xt} }{H} +\frac{\partial \beta }{\partial t} \frac{H_{xx} }{H} =0. \end{equation}

Доказано, что система (\ref{EQ__1_}), (\ref{EQ__2_}) при определенных значениях постоянных и функции $\beta (t)$ имеет нетривиальные решения. Имеется 24 различных положений свободной границы (функции $H(x,t)$), при которых основная группа расширяется.

2. Найдено частично инвариантное решение ранга 1 и дефекта 1, которое описывает осредненное конвективное движение и разделение бинарной смеси в термодиффузионной колонне (установке для измерения коэффициентов термодиффузии), см. рис. III.3 (а). Термодиффузионная колонна представляет собой вертикальный слой с постоянной разностью температур между боковыми стенками. Термодиффузионное разделение смеси в горизонтальном направлении под действием градиента температуры, и вертикальный конвективный поток приводят к разделению смеси в вертикальном направлении. Измерение вертикального градиента концентрации позволяет определить коэффициент термодиффузии. Предполагается, что колонна подвергается вибрационному воздействию в направлении оси $\textit{z}$. Изучено влияние интенсивности вибрации на конвекцию и разделение смеси в колонне (число Гершуни определяется так: ${\rm Gs=}{\left(\beta \Delta TA\omega L\right)^{2} \mathord{\left/ {\vphantom {\left(\beta \Delta TA\omega L\right)^{2} (2\nu \chi )}} \right.} (2\nu \chi )}, $ где $\textit{A}$ — амплитуда вибраций, $\omega $ — круговая частота, $\beta $ — коэффициент теплового расширения).

На рис. III.3 (б) представлена зависимость между концентрационным числом Рэлея R, характеризующим вертикальный градиент концентрации, и отношением разделения $\psi $ при различных значениях числа Гершуни. Увеличение интенсивности продольных вибраций (числа Гершуни) приводит к уменьшению вертикального разделения бинарной смеси в колонне при заданном положительном отношении разделения (происходит частичное перемешивание смеси).

На рис. III.3 (в) представлены профили осредненной скорости при числе Грасгофа Gr = 50 для смеси воды (90 %) и этанола (10 %), которая характеризуется безразмерными параметрами: число Прандтля Pr = 22.53, число Шмидта Sc = 2493, отношение разделения $\psi $ = 0.14 для разных чисел Гершуни Gs. Видно, что вблизи нагретой (правой) границы концентрация легкого компонента (этанола) повышается, и за счет конвекции он накапливается в верхней части колонны. Вследствие увеличения интенсивности продольных вибраций скорость движения увеличивается.

Рис. III.3. (а) Схема термодиффузионной колонны; (б) зависимость отношения разделения от концентрационного числа Рэлея для различных чисел Гершуни: 1 — Gs = 0, 2 — Gs = 104, 3 — Gs = 5·104, 4 — Gs = 105; (в) профили осредненной скорости для различных чисел Гершуни: 1 — Gs = 0, 2 — Gs = 5·106, 3 — Gs = 107

3. Исследованы конкретные нестационарные движения бинарной смеси с учетом эффекта термодиффузии в достаточно длинных плоских и цилиндрических слоях. Рассматриваются свойства инвариантных решений уравнений термодиффузии, когда на границе раздела двух смесей поверхностное натяжение линейно зависит от температуры и концентрации. Для возникающих сопряженных начально-краевых задач получены априорные оценки всех полей, показывающие их экспоненциальную сходимость с ростом времени к стационарным значениям. Приведены результаты численных расчетов поведения скоростей, температур и концентраций в слоях. Дано обобщение решений Остроумова — Бириха на движение смесей в цилиндрической трубе.

Блок 3. Построение автомодельных решений трехмерной k-$\varepsilon $ модели в приближении дальнего турбулентного следа и сравнение этих решений с численными экспериментами (О. В. Капцов, А. В. Шмидт, И. В. Веревкин).}

Рассмотрена математическая модель дальнего турбулентного следа за буксируемым телом в пассивно стратифицированной среде, основанная на известной полуэмпирической $k-\varepsilon $ модели турбулентности. Выполнен теоретико-групповой анализ исследуемой модели. С помощью метода B-определяющих уравнений осуществлена редукция модели к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которая решалась численно. Сопоставление полученного решения с решением, найденным непосредственным численным интегрированием дифференциальных уравнений модели на больших расстояниях от тела, показало практически полное совпадение пространственных графических изображений гидродинамических полей дальнего турбулентного следа. Кроме того, можно отметить удовлетворительное соответствие результатов расчетов экспериментальным данным.

Построено преобразование Эйлера-Дарбу для одномерного уравнения Фоккера-Планка, а также получено выражение для композиции преобразований Эйлера-Дарбу произвольного порядка.

Найдено представление для противоположного преобразования Эйлера-Дарбу, переводящего решения преобразованного уравнения в решения исходного. Это позволило разбить множество уравнений Фоккера-Планка на классы эквивалентности. Предложено обобщение преобразований Эйлера на случай произвольной размерности. Это позволило построить решения многомерных уравнений Фоккера-Планка некоторого специального вида. В качестве примера приведены решения одномерного уравнения Фоккера-Планка с заданными начально-краевыми условиями.

Блок 4. Разработка теоретических и численных моделей для исследования волн и структур в жидких пленках (В. К. Андреев, В. Б. Бекежанова).

1. Исследована задача о совместном стационарном течении тонкой жидкой пленки и спутного потока газа в мини-канале. В рамках линейной теории изучено развитие неустойчивостей в случае пространственных возмущений и определены наиболее опасные моды. Исследовано влияние расходов жидкости и газа (скоростей сред) и сил гравитации на характер возникающих структур. Для системы FC-72 — азот показано, что возникающие неустойчивости могут приводить к образованию различных форм течения. Решение задачи об устойчивости на плоскости $Re_{l}, Re_{g} $, где $Re_{l}, Re_{g} $ — числа Рейнольдса жидкости и газа соответственно, показано на рис. III.4.

Рис. III.4. Нейтральные кривые на $Re_{l}, Re_{g} $ — плоскости: а) $g=g_{0} $, б) $g=0$

В зоне I течение пленки устойчиво по отношению к малым пространственным возмущениям. В области II термокапиллярная неустойчивость проявляется в форме продольных валов, оси которых параллельны направлению основного течения. При этом наиболее опасной является монотонная мода. Длины волн, порождающие этот тип неустойчивости, не превосходят 6 мм. В зоне III кризис течения индуцируется бегущими тепловыми волнами (рис. III.5 а, б), которые распространяются в противоположном основному течению направлении (рис. III.6 а, б) и соответствуют колебательному режиму неустойчивости.

Рис. III.6. Картина течения в области формирования вихрей а) $g=0$, б) $g=g_{0} $

Область IV характеризуется появлением иррегулярных структур. Следует отметить, что в условиях микрогравитации в рассмотренном диапазоне параметров наблюдаются только первые два вида неустойчивости (рис. III.4, б).

Показано влияние сил Марангони на величину деформации поверхности раздела и характер возникающих неустойчивостей. Вместо обычного равенства потоков тепла на поверхности раздела жидкость-газ при решении задачи использовалось полное энергетическое условие, учитывающее энергию, затраченную на деформацию поверхности раздела термокапиллярными силами. Учет дополнительного слагаемого позволил получить результат, качественно соответствующий экспериментальным данным. В отсутствие этого слагаемого наиболее опасной является монотонная тепловая мода и неустойчивость в зоне III проявляется в виде стоячих тепловых волн. Карта режимов течений для последнего случая представлена на рис. III.7.

Рис. III.7. Нейтральные кривые на $Re_{l}, Re_{g} $- плоскости без учета энергии, затраченной на деформацию поверхности раздела: а) $g=g_{0} $, б) $g=0$

Блок 5. Применение разработанных одномерных математических моделей для исследования вертикальной структуры меромиктических озер Шира и Шунет (В. М. Белолипецкий, П. В. Белолипецкий, С. Н. Генова).

Разработанная модифицированная одномерная модель для исследования сезонных изменений вертикальной структуры соленого озера применялась для определения вертикальных распределений температуры и солености воды в озерах Шира и Шунет. Выполнена серия расчетов динамики вертикальных распределений температуры и солености воды в озере Шира для разных лет. Измеренные профили солености и температуры для зим 2007 и 2008 существенно различались, а именно — «ступеньки» солености и температуры в 2008 г. были на 3.5 м глубже, чем в 2007 (16 м и 12.5 м соответственно). Аналогичная картина была получена и в модельных расчетах (рис. III.8, III.9). Различия между зимними распределениями разных лет объясняются лишь метеорологическими условиями в осенний и зимний периоды.

На рис. III.10 (а) приведены вертикальные профили температуры и солености в глубоководной области озера Шира без учета изменения глубины, на рис. III.10 (б) — вертикальные профили температуры и солености в глубоководной области озера Шира с учетом уменьшения глубины на 50 см (сплошная линия — расчеты, точки — натурные измерения). Результаты расчетов хорошо согласуются с данными натурных измерений.

Рис. III.8. Измеренные (точки) и вычисленные (сплошные линии) вертикальные распределения температуры и солености воды в озере Шира (11.03.2005)

Рис. III.9. Измеренные (точки) и вычисленные (сплошные линии) вертикальные распределения температуры, солености и плотности воды в озере Шира (16.02.2008)

Рис. III.10. Вертикальные профили температуры и солености в глубоководной области озера Шира без учета изменения глубины (А), с учетом уменьшения глубины на 50 см (Б) (сплошная линия — расчеты, точки — натурные измерения)

Выполнены модельные расчеты для различных уровней водной поверхности озера Шира. Как видно из рис. III.11, III.12 при достаточном уменьшении глубины озера в конце зимы граница слоя конвективного перемешивания достигает дна. В период с 1920 по 1930 гг. глубина озера Шира значительно уменьшилась и поэтому слой конвективного перемешивания в зимние периоды мог достигать дна.

Рис. III.11. Вертикальные распределения солености воды. Слева: осень, синий — до изменения глубины, розовый — глубина уменьшена на 0.5 м. Справа: зима, розовый — начало зимы, синий — окончание зимы.

Рис. III.12. Вертикальные распределения солености воды. Слева: осень, синий — до изменения глубины, розовый — глубина уменьшена на 1.0 м. Справа: зима, розовый — начало зимы, синий — окончание зимы (конвективное перемешивание распространяется до дна).

Так как в зимний период температура воды мало изменяется по глубине, то плотность воды в основном зависит от солености. С учетом этого предположения выведены расчетные формулы для определения глубины распространения конвекции и значений температуры, солености, плотности воды в конвективном слое в зимний период. В этом случае толщина слоя конвективного перемешивания не зависит от уравнения состояния воды.

Выполнены расчеты вертикальных распределений температуры и солености в озере Шунет (рис. III.13). Рассчитан вариант, при котором формируется трехслойная вертикальная гидрофизическая структура озера (рис. III.14).

Рис. III.13. Вертикальные распределения температуры и солености в озере Шунет (измеренные — точки, рассчитанные — сплошные линии)

Разработанная математическая модель позволяет:

Сезонные изменения вертикальных распределений температуры и солености воды необходимо учитывать при математическом моделировании динамики компонентов водной экосистемы.

Рис. III.14. Вертикальные распределения температуры и солености в озере Шунет (измеренные — точки, рассчитанные — сплошные линии)

(Отделы Дифференциальных уравнений механики, Вычислительных моделей в гидрофизике)

Отчет ИВМ СО РАН за 2011 год

Программы фундаментальных исследований Сибирского отделения РАН