Теория меры

Понятие меры, возникшее первоначально в теории функций действительного переменного, в настоящее время играет первостепенную роль в самых разнообразных отделах математики. Наряду с теорией функций действительного переменного понятием меры, в той или иной форме, широко пользуются теория вероятностей, функциональный анализ, топологическая алгебра, качественная теория дифференциальных уравнений и т. п. Различные отделы теоретической физики, используя методы теории вероятностей, функционального анализа, эргодические теоремы и т. д., также оказываются связанными в известной степени с понятием меры.

Издаваемая в русском переводе книга П. Халмоша посвящена систематическому изложению теории меры и абстрактного интеграла Лебега и некоторым их приложениям, главным образом к теории вероятностей и к топологической алгебре. Первые восемь глав книги содержат общую теорию меры в абстрактном пространстве. Понятие независимости множеств приводит к теоретико-множественной трактовке основ теории вероятностей (гл. IX), а введение в исходном пространстве топологии — к изучению меры в локально компактных пространствах (гл. X). Наконец, последние две главы книги посвящены изучению инвариантных мер в локально компактных группах (мера Хаара). Следует отметить, что этот последний круг вопросов сравнительно мало освещен в монографической литературе.