Семинар Красноярского математического центра по прикладной математике

Рассматриваются дифференциальные уравнения математических моделей технических систем, содержащие изменяющиеся параметры. К таким параметрам относятся частоты и амплитуды внешних сил и другие величины, которые могут характеризоваться либо как возмущающие воздействия, либо как управляющие воздействия. Во многих задачах для параметров воздействия известны только границы их значений, что приводит к появлению множеств решений дифференциальных уравнений. Для определения топологических и метрических характеристик множеств решений воздействия системы рассматриваются как функциональные параметры правых частей систем ОДУ. Это помогает эффективно оценивать топологические свойства множеств решений и их границ, а также метрические свойства множеств решений. Топология множеств решений задана непрерывными отображениями решений на пространствах решений, при котором близкие точки области определения переходят в близкие точки области значений. Метрические свойства множеств решений определяются как свойства пространств, которые остаются неизменными при непрерывных изменениях формы и размеров областей решений, например, свойства связности, компактности.
Полученные результаты подтверждают эффективность описания множеств решений с использованием символьных формул нелинейной вариации параметров.

Математический аппарат создаваемых мною атмосферной и ионосферной частей модели основан на численном решении двумерных и трехмерных эллиптических краевых за-дач как со скалярными, так и с несимметричными тензорными коэффициентами. В послед-нем случае эффективность численных алгоритмов достигается за счет симметризации опера-торов краевых задач.
Результаты моей работы в КМЦ каждый год были представлены в статье SCOPUS, WoS. Планирую публиковать по 1 статье в год в журналах «белого списка».

План на 2025 год.
Создание математической модели электрических полей и токов, создаваемых в ионосфере за счет временных вариаций геомагнитного поля. Будет создан алгоритм численного решения задачи электропроводности ионосферы для вихревых электрических полей. Будут написаны на языке Фортран подпрограммы, необходимые для реализации этого алгоритма в рамках созданного ранее комплекса программ, предназначенного для решения задач с без-вихревым электрическим полем.

Для геномов, рассматриваемых как символьные последовательности, строятся частотные словари. Символьная последовательность разбивается на фрагменты путем сдвига окна считывания вдоль последовательности на определенное число символов. Для каждого фрагмента определяется список всех троек символов (триплетов), встречающихся в этом фрагменте, с учетом их кратности. Чтобы вычислить частоты триплетов, число экземпляров каждого триплета во фрагменте делится на общее число триплетов. Далее каждый фрагмент рассматривается как точка в 64-мерном пространстве триплетов, а ее координатами являются частоты триплетов. Рассматривается взаимное расположение этих точек в пространстве первых трех главных компонент.

Доклад посвящён методам boundary locus и Бернулли визуализации областей A-устойчивости линейных многошаговых методов. Обсуждаемые алгоритмы численно реализованы для схем Адамса 3 – 16 порядков точности. Полученная информация необходима для выбора шага дискретизации при численном решении задачи Коши многошаговыми метода-ми.

Математические модели оптимального управления являются одним из наиболее эффективных инструментов описания социально-экономических процессов. С развитием пандемии COVID-19 модели оптимального управления, как с ограничениями в виде системы обыкновенных и частных дифференциальных уравнений, стали широко использоваться для построения прогнозов развития заболевания, так и для оценки последствий применения мер изоляции для населения.
Основной проблемой использования моделей оптимального управления для прогнозирования поведения динамических систем является определение функционала стоимости, который должен, во-первых, описывать систему, т.е. быть физически релевантным, и, во-вторых, удовлетворять ограничениям на существование и единственность решения. Такие требования делают актуальным поиск подходов как к постановке обратной задачи восстановления функционала системы, так и исследованиям предлагаемых формулировок за-дач. В докладе будет предложен один из подходов к формулировке обратных задач для описания эпидемиологического процесса и будут обсуждаться проблемы, связанные с использованием такой постановки.

В докладе рассмотрены численные методы из семейства полулагранжевых алгоритмов для решения уравнения неразрывности. Показаны основные преимущества и недостатки использования таких методов. На примере одномерной задачи представлено полное теоретическое обоснование сходимости численного решения к точному решению с первым порядком точности. Кроме этого, теоретически обосновано выполнение закона сохранения для численного решения с учетом границ втекания и вытекания. Для двумерной задачи описано несколько алгоритмов построения численного решения. Указаны основные сложности программной реализации при построении решения двумерной задачи, а также трудности в теоретическом обосновании сходимости при решении двумерной задачи. Описан алгоритм решения трехмерной задачи. Для одномерной и двумерной задач теоретически обоснован и реализован алгоритм использования неравномерных пространственно-временных сеток для построения численного решения. Представлены результаты расчетов