Группы и паркетогранники

Весьма возможно, что построение правильного пятиугольника не было известно до Пифагора Самосского (570--495 гг. до н.э.), признанного основателя теории музыки, ставшей одним из фундаментальных античных направлений математики. И лишь в 1796 году был впервые построен правильный 17-угольник Карлом Гауссом. Им же, в работе «Disquisitiones Arithmeticae», изданной в 1801 году, сформулировано необходимое и достаточное условие построения правильного многоугольника бисекцией угла, осуществимой циркулем (линейка, как было доказано Георгом Мором в работе 1672 года «Euclides Danicus» не обязательна). В статье «Recherches sur les moyens de reconnatre si un Probleme de Geometrie peut se resoudre avec la regle et le compas» 1837 года Пьером Ванцелем была чётко доказана не только доcтаточность, но и необходимость выдвинутого Гауссом условия.

В статье «Angle Trisection, the Heptagon, and the Triskaidecagon» 1988 года Андрю Глисон сформулировал необходимое и достаточное условие построения правильного многоугольника, если наряду с бисекцией угла допустить его трисекцию. Он построил 7-угольник и 13-угольник и предложил читателю (с восклицательным знаком в конце своего предложения) «построение 19-угольника!» В той же статье он указал, что построение 11-угольника потребует квинтисекции угла.

Попытки явного построения 11-угольника обсуждались на открытых интернет сайтах. В частности, с 2016 по 2023 гг. на сайтах «Constructing the 11-gon by splitting an angle in five» и «Simplifying a radical-trigonometric expression for the hendecagon angle». Полученные применением алгоритма «MathematicaToRadicals» выражения в радикалах оказались чрезвычайно громоздкими. Так, на странице WolframMathWorld «Trigonometry Angles» (обновлённой 14 февраля 2026 года) указан случай простого числа 23 как «очень трудный и требующий большого времени». Однако дела с такими алгоритмами представления алгебраических чисел в радикалах обстоят значительно хуже того, в чём готова признаться «WolframAlpha», умалчивая объём полученных выражений после признанных ею долгими вычислений.

На предстоящем докладе мы обсудим причины столь затянувшегося построения (даже после нынешнего распространения методов компьютерной алгебры) правильных многоугольников (с малым количеством сторон) минимальной секцией угла и узнаем, какие фундаментальные результаты теории чисел (и их усиления) требуются для осуществления конкретных построений.

Предстоящий доклад продолжает серию докладов на указанную выше тему построения правильных многоугольников минимальной секцией угла, первый из которых состоялся 5 мая 2025 года на 939-ом заседании семинара «Эварист Галуа», основанном Юрием Ивановичем Мерзляковым в апреле 1987 года.

Будет представлен одноимённый с названием доклада семинар. Затронуты результаты о группах с условиями конечности, то есть условиями, которым удовлетворяет любая конечная группа, но существует удовлетворяющая этим условиям бесконечная группа. Например, конечность порядка каждого элемента группы, порождаемость конечным числом элементов. Будут рассмотрены многогранники с уловиями симметричности. Отмечается роль систем компьютерной алгебры и графики в задачах классификации таких тел.

Будут также воспоминания об известных семинару учёных и несколько слов о 200-летии неевклидовой геометрии.

Умело используя формулу Пойи-Редфилда, из действия группы автоморфизмов графа K_2,2,2,2 четырёхмерного гипероктаэдра на множестве двенадцати триангуляций тора с этим графом можно извлечь не только число (= 12) таких триангуляций, но и выписать все эти 12 триангуляций (с помеченными вершинами!) в явном виде. А также будут выписаны все автоморфизмы одной такой триангуляции (все 12 триангуляций изоморфны!) Красота конструкции становится просто интригующей, когда граф K_2,2,2,2 мыслится алгебраически, а именно как граф Кэли группы кватернионов Q₈.

Первая часть видеозаписи доклада выложена в Telegram-канал семинара 27 февраля 2026 г. Имеется презентация доклада и фотография некоторых участников .

В беседах с участниками семинара неоднократно появлялись примеры приложения их результатов. Планируется вспомнить об этих примерах и, быть может, подготовить запись эти примеров. Некоторые диалоги семинара нашли своё отражение в его Telegram-чате. В Telegram-канале семинара 18 января 2026 г. выложена в двух частях видеозапись. Имеется фотография некоторых участников.

Примеры близких правильногранникам тел выложены в телеграм-чате семинара 4 января 2026 г. Будет показана бесконечная серия мало отличающихся от выпуклых правильногранников тел A_n,n+1, n=4,5,..., причём комбинаторно равное каждому из них тело не может быть правильногранным. Однако, справедливо A_3,4= П₃ + M₂ = P_2,6=J₄₉, то есть этот многогранник является (правильногранным) телом Джонсона. Будут затронуты вопросы применения атласа групп движений евклидова пространства размерностей 2, 3 и 4 (см. Тимофеенко А. В. Равнореберные паркетогранники и близкие антипризмам многогранники. XV Междун. школа-конф. по теории групп, посв. 95-летию со дня рожд. М. И. Каргаполова: Екатеринбург. 21-28 июля 2024. Изд. ИММ УрО РАН, с. 96–97.) для моделирования многогранников.

5 января 2026 г. в телеграм-канале семинара выложена видеозапись об A_n,n+1.