Проблемы математического и численного моделирования

Помозов Егор Владимирович (ИВМ СО РАН)
(по материалам кандидатской диссертации)

В работе создана математическая модель крупномасштабных квазистационарных электрических полей, возникающих в атмосфере Земли за счет генераторов, расположенных в ионосфере и в литосфере, получены следующие результаты:
— создан многосеточный вариационно-разностный метод решения трехмерных краевых задач для уравнения электропроводности, основанный на минимизации квадратичного функционала энергии;
— метод реализован в виде программного комплекса для многопроцессорных компьютеров с использованием блочно-структурированных сеток;
Созданное в результате работы программное обеспечение было успешно применено для решения ряда важных геофизических задач:
— построены математические модели крупномасштабных квазистационарных электрических полей, возникающих в атмосфере Земли за счет генераторов, расположенных в магнитосфере;
— построены математические модели влияния приземных неоднородностей проводимости на атмосферное электрическое поле.
Предложены упрощенные математические модели проникновения электрического поля с поверхности Земли в ионосферу, с помощью которых проведен анализ возможности спутниковых измерений электрических полей, проникающих в ионосферу через атмосферу из литосферы.

Совершенствование методов моделирования лучистого теплообмена и оптических свойств среды применительно к высокотемпературным технологическим процессам и пожарам

Литвинцев Кирилл Юрьевич (кафедра теплофизики, СФУ. Красноярск)
(по материалам кандидатской диссертации)

В работе предложены и реализованы усовершенствования методов моделирования лучистого теплообмена и оптических свойств среды применительно к высокотемпературным технологическим процессам и пожарам:
— разработана процедура локального расщепления телесного угла для конечно-объемного метода в трехмерном пространстве, позволяющая уменьшить ошибку, связанную с эффектом углового перекрытия, и время расчета задачи радиационного теплообмена;
— предложен метод расчета задач радиационного теплопереноса с учетом спек-тральных свойств среды, основанный на совместном использовании методов дискретного переноса и диффузионного приближения, который позволяет снизить вычислительные затраты без снижения точности расчета.
— разработана и реализована технология расчета коэффициентов поглощения для полосных моделей на основе базы данных спектральных свойств газов HITRAN.
Созданное в результате работы программное обеспечение было успешно применено к решению ряда важных практических задач: моделирование работы газового котла, оптимизация горелочного устройства, моделирование пожаров в помещениях, расчет растепления грунта при аварии на газовой скважине.

Эффективная намагниченность ядра — результат решения обратной задачи по геоцентрической Z-компоненте магнитного поля IGRF-2005

Кочнев Владимир Алексеевич
(научное сообщение)

Модель ядра представлена двумя полусферами: северной и южной, которые аппроксимируются прямоугольными призмами с горизонтальными размерами 400х400 км и высотой, равной толщине полусферы на вертикальной оси призмы. Задача сводится к решению системы, включающей 2450 уравнений и 512 неизвестных. Неизвестными являются эффективные намагниченности (ЭН) призм. Задача решается устойчиво по геоцентрической Z-компоненте магнитного поля и результат мало зависит от начального приближения неизвестных. ЭН оказывается существенно неоднородной. В северном полушарии видим две аномалии — западную и восточную с максимумом 1440 А/м. Вблизи полюса ЭН доходит до отрицательных значений. Аномалии соединяются узкой аномалией, вытянутой вдоль экваториальной области. В южном полушарии одна аномалия – существенно смещенная от полюса к экватору с максимумом около 1900 А/м и отрицательная аномалия с минимумом −524 А/м. Результат получен в предположении вертикального намагничения призм.
Основное внимание в докладе уделяется интерпретационной модели, в которой главную роль в создании потока жидкости в ядре играет Луна и Солнце. С позиции этой интерпретационной модели анализируются магнитные моменты других планет Солнечной системы.

Численное обращение времён первых вступлений для скважинных систем наблюдения в трансверсально-изотропных средах

Сердюков А. С. (Институт нефтегазовой геологии и геофизики СО РАН, Новосибирск)
(по материалам кандидатской диссертации)

В работе предложен и реализован новый подход к численному обращению времён первых вступлений продольных волн для скважинных систем наблюде-ний, основанный на:
— алгоритме двухточечного трассирования сейсмических лучей в неоднородных изотропных и трансверсально-изотропных средах с вертикальной осью симметрии с использованием конечно-разностных методов решения уравнения эйконала, верифицированном на серии численных экспериментов для двумерных сред.
— анализе сингулярного спектра томографического оператора для трансверсально-изотропной среды с вертикальной осью симметрии, обосновывающем оптимальность параметризации Шонберга для таких сред, что позволяет избежать артефактов, связанных с взаимосвязанностью параметров при численном обращении времён первых вступлений;
— алгоритме численного обращения времён первых вступлений продольных волн, путем усечения сингулярного разложения томографического оператора, протестированном на серии численных экспериментов по обращению синтетических данных.

Разработка параллельных одношаговых методов и комплекса программ для решения задач химической кинетики и биологии

Ващенко Геннадий Васильевич (ИВМ СО РАН, СибГТУ)
(по материалам кандидатской диссертации)

Рассматриваются аспекты развития одношаговых методов в части разработки алгоритмов интегрирования переменного шага и их применения на многопроцессорных вычислительных системах кластерной архитектуры. На основе явных методов типа Рунге-Кутты с контролем точности вычислений и устойчивости численной схемы, а также L-устойчивого (2,1)-метода разработаны и реализованы с использованием функций MPI на языке C++ параллельные алгоритмы переменного шага для решения жестких и нежестких задач. В явных методах второго и третьего порядков наряду с контролем точности вычислений осуществляется проверка неравенства для контроля устойчивости численной схемы, что позволяет применять их для решения задач умеренной жесткости. Получены теоретические оценки эффективности и масштабируемости параллельных алгоритмов. Создан комплекс параллельных программ для многопроцессорных вычислительных систем кластерной архитектуры, с помощью которого проведено моделирование функционирования генной сети на основе модели много-стадийного процесса синтеза вещества без ветвления и стоков, и найдено численное решение задачи проникновения помеченных радиоактивной меткой антител в пораженную опухолью ткань живого организма.

Приближенные аналитические решения осесимметричных контактных задач для неоднородного слоя сложной структуры высокой точности

Айзикович С. М., Васильев А. С., Волков С. С., Кренев Л. И. (Донской государственный технический университет)
(научное сообщение)

Излагается эффективный метод решения осесимметричных статических контактных задач теории упругости для непрерывно-неоднородного (функционально-градиентного) слоя, позволяющий получить приближенное решение задачи в аналитическом виде высокой точности. Построенные решения являются асимптотически точным как для больших, так и для малых значений характерного геометрического параметра задачи. Метод позволяет с единых позиций изучить смешанные задачи теории упругости как с фиксированной, так и с неизвестной заранее зоной контакта. Построены решения новых неклассических задач механики контактных взаимодействий для функционально-градиентных сред с учетом независимого изменения, как модуля Юнга, так и коэффициента Пуассона. Рассматриваются численные примеры для непрерывно-неоднородного слоя сложной структуры, в частности, проанализированы законы неоднородности в слое, когда градиент изменения упругих свойств многократно меняет знак. Исследуется точность построенных решений.

Численное моделирование 3D волновых полей в задачах сейсмического зондирования вулканических структур

Караваев Дмитрий Алексеевич (Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН)
(по материалам кандидатской диссертации)

В работе проводится численное моделирование и изучается структура трехмерных сейсмических полей для сложно построенных неоднородных упругих сред, характерных для грязевых вулканов. Разработан комплекс программ, реализованный на суперкомпьютере с использованием технологий параллельного программирования, который позволяет строить различные математические модели трехмерных неоднородных упругих сред и проводить численные расчеты. Представлены результаты численных экспериментов и результаты уникального геофизического эксперимента. Разработана трехмерная геофизическая модель строения верхней части грязевого вулкана. Проводится сравнение модельных и экспериментальных данных. Показано их хорошее соответствие.

Математическое моделирование процесса фильтрационного рафинирования металлических расплавов

Воеводина Марина Александровна (Хакасский технический институт СФУ)
(по материалам докторской диссертации)

Разработана математическая модель течения расплава по каналам фильтра. Непрерывный процесс течения расплава по каналам фильтра рассматривали как квазипрерывный пошаговый. Получены расчетные зависимости теплового взаимодействия расплава с материалом фильтра. Для оценки эффективности фильтрования предложен параметр, позволяющий оценить степень участия поверхности фильтра в процессе рафинирования расплава.

Минимальные кубатурные формулы, точные для полиномов Хаара

Кириллов Кирилл Анатольевич
(научное сообщение)

Доклад посвящен построению и исследованию минимальных формул приближенного интегрирования (формул с минимальным возможным числом узлов), точных для полиномов по системе Хаара. Установлены нижние оценки числа узлов квадратурных и кубатурных (в двумерном случае) формул, точных для полиномов Хаара, разработаны алгоритмы построения минимальных формул, найдены оценки погрешности формул приближенного интегрирования, точных для полиномов Хаара.

Построение неклассических уравнений теории оболочек

Волчков Юрий Матвеевич (Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН)
(научное сообщение)

Под классическими уравнениями понимаются уравнения, при построении которых используются те или иные кинематические и статические гипотезы (уравнения Кирхгофа-Лява, уравнения Тимошенко и др.). Как правило, эти уравнения строятся при условии, что на лицевых поверхностях оболочки задаются усилия. При решении контактных задач такие уравнения вызывают определенные трудности. Существуют подходы к построению теории оболочек, основанные на разложении решения трехмерных уравнений по некоторой полной системе функций. По-видимому, первыми работами, в которых используется такой подход, были работы Н. И. Векуа.
В докладе излагается вариант построения уравнений теории оболочек и пластин на основе аппроксимации решений трехмерных уравнений теории упругости полиномами Лежандра. Предлагается процедура усечения бесконечной системы уравнений до конечной системы. Построенные таким образом уравнения оболочек допускают постановку условий на лицевых поверхностях как в напряжениях, так и в перемещениях. При этом порядок системы дифференциальных уравнений не зависит от вида условий на лицевых поверхностях.

Модель источников магнитного поля ядра Земли, полученная в результате решения обратной задачи магнитометрии

Кочнев Владимир Алексеевич
(перенесено с 10 февраля 2011 г.)

Предполагается, что главное магнитное поле Земли сформировано электрическими токами в ядре. Распределение интенсивности источников магнитного поля находится в результате решения обратной задачи, в которой неизвестной является эффективная намагниченность элементарных объектов внутри ядра, а исходными данными для решения обратной задачи являются абсолютные значения главного магнитного поля по модели IGRF-2005 вблизи поверхности Земли. Обратная задача сводится к решению системы из 2450 алгебраических уравнений с 460 неизвестными. Задача решается адаптивным методом. Приводится описание исходных данных, описание модели и интегральных уравнений, метода и результатов решения. В заключительном разделе делается вывод о том, что глобальное магнитное поле создается тремя основным вихрями токов: канадским, сибирским и австралийским. Делается вывод, что полученная модель не противоречит общей концепции геодинамо. Модель является существенно асимметричной и адекватно соответствует особенностям главного магнитного поля Земли.