Проблемы математического и численного моделирования

Для решения задач о распространении длинных поверхностных волн в рамках моделей, учитывающих частотную дисперсию, нелинейность, подвижность дна, «сферичность» и вращение Земли, предлагаются численные алгоритмы, основанные на выделении в системах нелинейно-дисперсионных уравнений эллиптической подзадачи для дисперсионной составляющей проинтегрированного по глубине давления. При таком подходе поочерёдно решаются эллиптическая подзадача и уравнения мелкой воды с модифицированной правой частью, что позволяет использовать накопленный опыт численного исследования подобных задач.
На модельных и близких к реальности задачах о распространении поверхностных волн и образовании их подводными оползнями исследуются границы применимости полных и слабо нелинейных дисперсионных моделей, важность учёта эффектов дисперсии, «сферичности» и вращения Земли.

В докладе рассматриваются задачи о течениях многокомпонентных газовых смесей с физико-химическими превращениями применительно к математическому моделированию плазмохимических технологий микроэлектроники. Представлены физико-математические модели для описания технологических процессов плазмохимического травления, соответствующие современным направлениям в моделировании производства микроэлектронных схем и позволяющие исследовать тонкие физические эффекты плазменного травления, включающие тепловое излучение многоатомных молекул, эффекты разреженности, термодиффузии, многокомпоненетную кинетику газофазных и гетерогенных реакций. Приводятся эффективные численные алгоритмы, реализующие предложенные модели с применением современных суперкомпьютерных технологий. На их основе выполнено численное моделирование плазмохимической технологии травления кремния в тетрафторметане для бинарной модели кинетики, раскрывающее основные механизмы появления характерной неравномерности травления в распространенных реакторах индивидуального травления, и предложен обоснованный в расчетах способ минимизации неоднородности травления образцов кольцевыми протекторами с низкой реакционной способностью. Для реактора радиальной схемы проведено сравнение распространенных моде-лей химической кинетики травления кремния в тетрафторметане. Исследуется влияние структуры ВЧ-разряда в технологическом процессе плазмохимического травления кремния в CF4/O2. Представлены результаты по оптимизации скорости травления кремния в широко распространенных низкотемпературных плазмах CF4/O2 и CF4/H2 с использованием многокомпонентных моделей плазмохимических кинетик, воспроизводящие в расчетах экспериментально наблюдаемые кинетические эффекты и количественно подтверждающие сценарии процесса, в частности, эффекта гистерезиса в CF4/O2 и процесса полимеризации в CF4/H2.

Исследование динамики двухфазных систем с границами раздела вида жидкость — газ является одной из сложных проблем механики сплошной среды. Термокапиллярные течения, возникающие на границе раздела за счет градиентов поверхностного натяжения, вызванных неоднородностями температуры, могут оказывать существенное влияние на движение жидкости или газа в объеме. Течения на межфазной границе играют важную роль в таких процессах, как движение жидких пленок, распространение струй, эволюция волн в океанах.
Термокапиллярный эффект существенно влияет на процесс роста кристаллов методом зонной плавки. Для изучения процессов в зоне расплава часто используется модель жидкого моста (или половинной зоны). В данной модели объем жидкости помещен между двумя цилиндрическими стержнями, которые имеют общую ось и расположены на некотором расстоянии друг от друга. Разность температур между стержнями приводит к возникновению градиента поверхностного натяжения на свободной границе, который, в свою очередь, вызывает термокапиллярное движение жидкости. При небольших разностях температур термокапиллярное течение стационарное, однако с ростом разности температур это течение может стать неустойчивым. Развитие неустойчивости связано с появлением монотонных или колебательных возмущений, при этом последние представляют собой стоячие или бегущие гидротепловые волны (характеризуемые азимутальным волновым числом m).
В докладе представлен обзор теоретических и экспериментальных результатов в области изучения термокапиллярных течений и их устойчивости в жидком мосте. В частности, в работах автора была обнаружена новая мода неустойчивости, которая недавно была подтверждена в космических экспериментах на МКС, проводимых японскими учеными.

Полупроницаемые мембраны с наноразмерными порами (наномембраны) являются од-ной из перспективных технологий разделения веществ. Принцип работы традиционных пассивных мембран основан на геометрическом соответствии размеров пор и размеров пропускаемых молекул. В настоящее время интенсивно изучаются активные мембраны, селективность которых может варьироваться посредством внешнего воздействия. В качестве такого воздействия может выступать электрическое поле, создаваемое заряженными стенками поры.

В рамках данной работы синтезирована структура на основе пористого анодного оксида алюминия со сквозными порами диаметром 10–40 нм. Стенки пор являются проводящими нанотрубками, подключенными к общему входному электроду. На промежуточной стадии формирования наномембраны синтезируется поверхность, покрытая нановорсинками. Этот материал может использоваться в качестве концентратора ионов при приложении к нему электрического потенциала. В настоящее время проводится комплекс экспериментальных и теоретических исследований механизмов селективного разделения ионных растворов с помощью синтезированных наноматериалов. Экспериментальные исследования основаны на электрохимических методах анализа. Теоретические исследования связаны с математическим моделированием транспорта ионов в наноканалах мембран и вблизи наноструктурированных поверхностей на основе методов молекулярной динамики и механики сплошных сред.

Работа посвящена разработке теории начальных и краевых задач для вырожденных систем интегро-дифференциальных уравнений (ИДУ). На основе этих разработок построены и исследованы модели, возникающие в теории нелинейных гидравлических и электрических цепей (ГЦ и ЭЦ). В предыдущих поколениях моделей ГЦ для расчета использовали стационарные модели, которые описываются алгебраическими уравнениями.
Разработаны численные алгоритмы решения начальных и краевых задач для вырожденных систем ИДУ на основе методов наименьших квадратов и ко-нечно-разностных схем. Методы, применяемые в других работах при решении краевых задач для дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ), сложно адаптировать к нашим задачам. А для систем с прямоугольными матрицами коэффициентов это сделать вовсе невозможно. В большей части предыдущих работ рассматривались только замкнутые системы, у которых число уравнений равно числу компонент искомой вектор-функции.
На основе разработанных алгоритмов создан комплекс программ, предназначенный для решения краевых задач для вырожденных систем ИДУ, и начальных задач, описывающих модели ГЦ и ЭЦ с автоматическими регуляторами.