Математические модели и методы интегрирования

In this review talk we expose remarkably tight relations between the four topics mentioned in the title. Starting from the paper by N. H. Abel published in 1826 and subsequent results of Chebyshev and Zolotarev we finish at the recent results by Burskii, Zhedanov, Malyshev (et al.) devoted to algorithmic decidability of some identities for the values of the Weierstrass P-function, unexpected elementary geometric applications and many, many more hidden equivalences in seemingly unrelated areas of analysis, modern computer algebra and geometry.

This talk will be given in Russian, the English version was presented on 16–09–2021 at Beijing-Novosibirsk seminar on geometry and mathematical physics (http://english.math.pku.edu.cn/conferences/244.html). The video and slides of that talk can be found at https://cloud.mail.ru/public/S4Pp/wJ5iFcggM

A symmetry group of the three-dimensional Kadomtsev — Petviashvili equation is calculated. An example of an invariant solution is given. Exact solutions for the equation under study in the form of double waves are revealed. The resulting solutions are expressed in terms of elementary functions and describe an interaction between a pair of solitons. Smooth bounded rational solutions are also constructed.

Определение времени жизни свободного нейтрона пучковым методом и «bottled» методом дают ощутимо разные значения [1], [2]. И эту разницу пока не удается объяснить ни недостаточной точностью методов, ни релятивистской поправкой. В пучковом методе нейтроны движутся со скоростью порядка 10000 км/сек, а в «bottled» методе значительно медленнее.
С другой стороны можно построить преобразования координат инерциальных систем отсчета отказавшись от непосредственного сравнения подвижных и неподвижных объектов и от предположения о конечности скорости света [3]. Эти преобразования приводят к наличию предельной скорости. И при определенной договоренности о выборе базисов совпадают с преобразованиями Лоренца (если принять эту предельную скорость за скорость света). При этом поправка на замедление времени не обязана совпадать с общепринятой в специальной теории относительности.

1. A. T. Yue, M. S. Dewey, D. M. Gilliam, G. L. Greene, A. B. Laptev, J. S. Nico, W. M. Snow, and F. E. Wietfeldt Improved Determination of the Neutron Lifetime // Phys. Rev. Lett. 2013. V. 111. P. 222501. arXiv:1309.2623v2 [nucl-ex] 27 Nov 2013.
2. Серебров А. П. Разногласие между методом хранения ультрахолодных нейтронов и пучковым методом при измерении времени жизни нейтрона, УФН, т. 189, № 6, с. 635–641.
3. Talyshev A. A. On the Geometric Approach to Transformations of the Coordinates of Inertial Frames of Reference, 'Nonlinear Dynamics, Chaos, and Complexity', Higher Education Press, Springer, 2021, pp. 113–124.

Под распространяющейся волной в линейной теории обычно понимает функцию f(x – ct) с произвольной зависимостью от других пространственных координат (здесь t – время, и x — координата). Их нахождение в случае одной пространственной координаты сводится к решению в простейшем случае системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Более сложно найти бегущие волны в волноводах со сложной поперечной структурой, и, например, нахождение бегущих волн в жидкости со свободной поверхностью стало предметом специального раздела нелинейной математики. Если параметры среды меняются медленно во времени или плавно в пространстве, то волна локально описывается теми же выражениями, что и в однородной среде, а изменение амплитуды и фазы волны находится с помощью лучевых методов, или более строго с помощью асимптотической процедуры. Уже давно было отмечено, что в некоторых случаях асимптотические решения являются точными и не требуют плавности изменения параметров среды. При этом возникают вопросы, являются ли такие решения бегущими волнами, если среда не является плавно неоднородной. В настоящем докладе эта проблема обсуждается применительно к волнам на воде. Показывается, что существуют несколько профилей переменной глубины, когда асимптотические решения для линейных волн становятся точными решениями. Такие решения всегда имеют сингулярные точки. Наряду с монохроматическими волнами, получены решения в виде бегущих импульсов, и исследована их форма. В частности, для одного класса донной геометрии поверхностная волна должна быть знакопеременной, при этом волна скорости частиц меняет свою форму по мере распространения. Получены соответствующие решения начальной задачи, демонстрирующие особенности формирования бегущих волн, движущихся в противоположных направлениях, при этом в общем случае формируется зона переменного течения между двумя разбегающими волнами. Эти решения применяются для изучения трансформации и отражения волны от излома глубины. Несмотря на «точечность» отражения, форма отраженной и преломленной волны меняется кардинально, в частности для любой формы падающей волны, трансформированная волна является знакопеременной. Приводятся примеры бегущих волн в атмосферной акустике, солнечной атмосфере и физики внутренних волн в стратифицированной жидкости. Существенно меньше результатов получено в нелинейной задаче.

Подмодель идеального газа, инвариантная относительно переносов по времени и по одному пространственному направлению в случае вихревых движений имеет 4 интеграла. Для функции тока и удельного объема получена система нелинейных дифференциальных уравнений 3-го порядка с одним произвольным элементом, включающим в себя уравнение состояния и произвольные функции интегралов. Найдены преобразования эквивалентности по произвольному элементу. Решена задача групповой классификации. Получена оптимальная система неподобных подалгебр для алгебр из групповой классификации. Рассмотрены примеры инвариантных решений, описывающие вихревые движения газа с переменной энтропией, в том числе точечный источник или сток. На двумерных подалгебрах получены аналоги простых волн.

One of the well-known classes of solutions of many models of continuum mechanics is a set of solutions called simple wave-type solutions. From the method of differential constraints point of view, this class of solutions is described by homogeneous differential constraints. Application of the method of differential constraints allows one to generalize this class. The main feature of this class of solutions is that finding a solution of the original system of equations is reduced to solving a system of ordinary differential equations. In particular, the presentation will show that finding a solution of any Cauchy problem of a homogeneous system of equations written in Riemann invariants, admitting a differential constraint, is reduced to solving the Cauchy problem of system of ordinary differential equations. This is similar to the method of characteristics for a partial differential equation with a single dependent variable. Illustrations of solutions for some initial data are given. Several models will be demonstrated in the presentation.

В работе найдены общие решения для некоторых классов линейных волновых уравнений с переменными коэффициентами. Такие уравнения описывают колебания стержней, акустические волны, а также к ним сводятся некоторые модели газовой динамики. Для построения решений используются преобразования типа Леви, которые являются дифференциальными подстановками первого порядка и их итерациями. Приводятся конкретные примеры общих решений, зависящих от производных произвольных функций.

В докладе исследуется переопределенная система уравнений в частных производных, являющаяся двумерным аналогом общей трехмерной системы, задача исследования на совместность которой была поставлена в статье Л. В. Овсянникова «О «простых» решениях уравнений динамики политропного газа». Рассматриваемая система описывает так называемые тепловые (с постоянной плотностью) движения политропного газа. К этой же системе сводятся изотермические (с постоянной скоростью звука) движения газа при показателе адиабаты не равном 1. В гидродинамике данная система задает двумерные движения жидкости с дополнительным условием постоянства давления в частице. Это условие позволяет интерпретировать каждое ее решение, как движение жидкости со свободной границей. Система приведена к пассивному виду и полностью проинтегрирована.

The asymptotic approach is suggested for the description of interacting surface and internal oceanic solitary waves. This approach allows one to describe a stationary moving wave patterns consisting of two plane solitary waves moving at an angle to each other. The results obtained within the approximate asymptotic theory is validated by comparison with the exact two-soliton solution of the Kadomtsev–Petviashvili equation. The suggested approach is equally applicable to a wide class of non-integrable equations too. As an example, the asymptotic theory is applied to the description of wave patterns in the 2D Benjamin–Ono equation describing internal waves in the infinitely deep ocean containing a relatively thin one of the layers.

The symmetries of a one-dimensional system of shallow water equations over an uneven bottom in Euler’s variables are classified. Based on the results of the group classification obtained, it is concluded that it is possible to reduce the one-dimensional system of shallow water equations to a linear system of equations using point transformations only in the cases of horizontal and inclined bottom profiles. We also classify the contact symmetries of the one-dimensional shallow water equation over an uneven bottom in Lagrangian’s variables.

The hydrodynamic conservation laws of a one-dimensional system of shallow water equations in Eulerian’s variables are classified. A new basic conservation law is obtained. The first-order conservation laws of the one-dimensional shallow water equation in Lagrangian’s variables are classified.

A three-parameter family of exact solutions of a one-dimensional system of shallow water equations over an inclined bottom is obtained and investigated, describing the ”step’’ wave's arrival on the shore and its reflection from it. The nonlinear the overwash effect and the effect of the amplification of the incoming wave when it is reflected from the shore are described.

The sets of ODE solutions, with initial data belonging to the initial data regions, have complex boundaries (boundary surfaces in the dimension space). For the boundaries of the sets of solutions (surfaces in the space of solutions), it is impossible to choose formulas of functions with the help of which it was possible to describe the boundaries. As a result, there are two possibilities — either to describe the values of the boundary surfaces in a set of discrete points (on a grid), or to calculate their estimates of the maximum values in the directions of the coordinate axes, or the maximum in any chosen direction. The paper investigates and further uses the injectivity property of solutions to ODEs. For linear systems of ODEs the shift operator is linear and monomorphic (i.e., injective). These properties are also possessed by the resolving operator, which associates with the initial value the solution of the corresponding Cauchy problem (the entire solution, not its value at a point) as an element of space.

For nonlinear ODE systems that have unique solutions in a certain region of initial data, the boundaries of the regions of initial data pass into the boundaries of the regions of solutions at each specific moment in time. The class of such nonlinear ODE systems consists of systems whose solutions are uniformly bounded (Lagrange stable). Preliminarily, it is useful to construct a regularization of estimates for the boundaries of the solution sets, passing to the linear approximation of the original system. Regularization is understood as finding information about sets of exact solutions. This regularization establishes the values of compression / expansion in the given directions, offset along the time axis, and rotation through some angle. Examples of stability studies on a finite time interval are given.