Математические модели и методы интегрирования

Для интегрирования двумерной модели Гейзенберга использованы методы классической дифференциальной геометрии. Уравнения модели были записаны в терминах метрического тензора и его производных, связанного с криволинейной системой координат после преобразование годографа. Найдено общее решение модели Гейзенберга в неортогональной системе координат, когда метрический тензор зависит от двух переменных. Предсказаны и проанализированы новые типы различных вихревых решеток в двумерном ферромагнетике.

Методом многомасштабных разложений получены двумерные уравнения типа Дэви — Стюартсона, которые описывают эволюцию трехмерных нелинейных магнитостатических возбуждений в пластине ферромагнетика. Предложенный подход допускает обобщение. Показано, что в ферромагнитных пленках с толщиной больше обменной длины эволюция трехмерных обменно-дипольных волновых пакетов также описывается уравнениями Дэви — Стюартсона. Вычислены пороги нестабильности плоских нелинейных монохроматических волн. Модуляционная неустойчивость таких волн ведет к образованию когерентных структур. Найдены условия формирования и явные решения для плоских солитонных возбуждений. В рамках предложенной модели предсказана возможность критического коллапса пространственно локализованных двумерных волновых структур.

В диссертационной работе получены аналитические решения базовых моделей магнетизма: уравнений Ландау — Лифшица и sine-Gordon. Они описывают квазиодномерные солитоны на периодическом фоне — в полосовой доменной структуре одноосного и двухосного ферромагнетиков, а также в спиральной структуре магнетиков без центра инверсии. Основным методом исследования служит «процедура одевания» — модификация метода обратной задачи рассеяния на основе задачи Римана теории функций комплексной переменной. Представлен детальный анализ полученных решений. Обсуждаются возможности возбуждения и обнаружения солитонов в эксперименте.

Классическая формула Бине выражает значение логарифмической производной Г-функции Эйлера через некоторое интегральное представление. Данный доклад будет посвящен получению обобщения данного результата. А именно, получено интегральное представление для логарифмической производной целой функции конечного порядка (меньше 1/2) с нулями, которые образуют некоторую последовательность целых отрицательных чисел. Доказательство основано на использовании классической формулы суммирования Плана и решении одной интерполяционной задачи. Полученный результат может быть использован при получении функционального соотношения для дзета-функции корней, аналогичного функциональному уравнению для классической дзета-функции Римана.

Мы показали, как из кинетического уравнения Больцмана с классическим интегралом столкновений можно получить кинетическое уравнение для функции распределения скоростей турбулентного ансамбля. Полученное кинетическое уравнение турбулентности в сравнении с уравнением Больцмана в левой части содержит десять дополнительных членов, и вместо частоты молекулярных столкновений в интеграл столкновений входит частота столкновений турбулентных частиц, которая существенно меньше частоты молекулярных столкновений. При получении кинетического уравнения турбулентности, мы использовали инвариантность интеграла столкновений уравнения Больцмана относительно преобразований Гаусса и идею микрофрагментации турбулентных течений на турбулентные «жидкие» микрочастицы с равновесным распределением молекул по скоростям, флуктуирующей средней скоростью и средним пространственным размером, который превышает длину свободного пробега молекул и меньше характерного масштаба изменения турбулентной функции распределения.

[1] Phys. Fluids 36, 125175 (2024); doi: 10.1063/5.0242731

В докладе обсуждается эквивалентность параболических дифференциальных уравнений классическому одномерному уравнению теплопроводности с использованием преобразований на решениях. Предполагается, что уравнения являются автономными, а применяемая методология аналогична подходу С. Ли к решению задачи линеаризации обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Исследование проводится в два этапа. В первой части находятся необходимые ограничения для класса параболических дифференциальных уравнений с двумя независимыми переменными, которые эквивалентны классическому уравнению теплопроводности при преобразованиях на решении. Во второй части исследуются оставшиеся условия, и выводятся достаточные условия. Затем получаются соответствующие дифференциальные уравнения. Все возможные случаи, которые возникают, тщательно анализируются, и теория иллюстрируется примерами.

Среди различных методов построения точных решений уравнений в частных производных особенно выделяется симметрийный подход. Оказывается, что системы, описывающие инвариантные решения, наследуют многие инвариантные геометрические структуры — даже в случае высших симметрий. В докладе мы обсудим, как инвариантные законы сохранения систем с двумя независимыми переменными определяют константы инвариантного движения. Соответствующая процедура является алгоритмической для систем эволюционных уравнений.

Modern sandwich structures are employed in a broad range of aerospace, marine and civil structural applications. They are efficient and lightweight constructions with high bending stiffness, high strength, and high buckling resistance. Such modern sandwich structures are combination of composite facings with a lightweight core layer. The facings carry the tensile and compressive loads, while the core transmits shear loads and serves to hold the facings in positions, which maximize the flexural stiffness of the structure. Therefore, the general structural response of a sandwich structure is an action, consisting of couple, compression or tension stress resultants in the facings and shear stresses along with vertical normal stresses within the core. Note that, in such structures, the facings may undergo different displacements due to the compressible core that may change its height. Proper reflection of this effect in the strain-stress analysis would require the application of the advanced modeling and computational techniques and approaches.

In this study the new computational model of sandwich beam is developed. The beam one-dimensional model by virtue of its relative simplicity is useful for preliminary analyses of the more complicated two-dimensional sandwich structures. The model for the facings was built based on the traditional hypotheses that allow a transverse shear deformation to be taken into account. The deformation model created for the elastic orthotropic core is original. This model considers a non-linear character of variation of the transverse and axial displacements over the thickness of core. Governing system of differential equations, describing join deformation of facings and core, was derived using static and kinematic contact conditions between these parts of the structure. System of governing differential equations has 14th order. Numerical analysis of the stress-strain state of the sandwich beam for various loading cases and boundary conditions has been performed. System of differential equations, together with the corresponding boundary conditions, represented the boundary value problem that was solved using Abramov’s sweep method. Finite element modeling of the sandwich beam was executed using the FEM software package MSC Nastran® and the results were compared with the developed theory. The computational model of deformation of the sandwich beam and method of its analysis developed in this study provide an opportunity to investigate a strong oscillating behavior of the components of stress-strain state of the structure under consideration. This allows the results of analyses performed to be used for the verification of solutions for similar problems found using numerical techniques, including the finite element method.

Неголономные структуры можно считать естественным обобщением структур римановой геометрии. Одна из их основных особенностей — специфическая метрика, относительно которой за время t можно пройти расстояния разного порядка вдоль разных направлений (t, t^2, t^3, и т. д.). Поэтому отображения, являющиеся липшицевыми в классическом смысле, в общем случае, не являются таковыми в неголономном смысле, и наоборот. Тем не менее, во второй половине XX века была создана теория субримановой дифференцируемости, позволяющая аппроксимировать «сложные» отображения регулярными. Группы Карно являются одним из известных примеров неголономных структур. В докладе будет рассказано о формуле вычисления субриманова аналога площади поверхностей-образов, полученных при липшицевых во внутреннем смысле отображениях открытых множеств групп Карно. Такие группы и их обобщения, многообразия Карно, возникают естественным образом и в теоретических областях, и в прикладных, таких, как нейробиология, робототехника, астродинамика.

В докладе обсуждаются уравнения тепло- и массопереноса на основе модифицированных соотношений для потока тепла (закон Фурье) и потока диффундирующей примеси (закон Фика). Показано, что предлагаемая модификация приводит к уравнениям второго порядка эллиптического типа, которые описывают изменение профилей температуры и концентрации примеси с конечной скоростью. В качестве примера рассматриваются процессы одномерного теплопереноса в пластинах.