Математические модели и методы интегрирования

В классических учебниках [1-3] постоянная Хаббла определяется через метрику. Здесь мы определяем ее, как положено, через материю, по Милну и МакКри, распространяя их теорию расширяющейся Вселенной на релятивистский случай. Это позволяет объяснить ускоренное расширения как простой релятивистский эффект без лямбды Эйнштейна, темной энергии и новых частиц, как точное следствие классического действия Эйнштейна. Хорошо проверенный факт ускоренного расширения позволяет определить знак кривизны в модели Фридмана: он оказывается отрицательным, и мы живем в пространстве Лобачевского.

Также в классических работах (см. [1–4]), уравнения для полей предлагаются без вывода правых частей. Здесь мы даем вывод правых частей уравнений Максвелла и Эйнштейна в рамках уравнений Власова — Максвелла — Эйнштейна из классического, но немного более общего принципа наименьшего действия [5–6]. Получающийся вывод уравнений типа Власова даёт уравнения Власова — Эйнштейна отличные от тех, что предлагались ранее. Предлагается способ перехода от кинетических уравнений к гидродинамическим следствиям [5–6], как это делалось раньше уже самим А. А. Власовым [4]: это можно трактовать как переход от кинетического турбулентного описания с помощью функции распределения к ламинарному описанию гидродинамического типа. Это дает космологические решения типа Милна — МакКри. В случае гамильтоновой механики от гидродинамических следствий уравнения Лиувилля возможен переход к уравнению Гамильтона — Якоби, как это делалось уже в квантовой механике Е. Маделунгом, а в более общем виде В. В. Козловым [7] и В. П. Масловым. Таким образом получаются в нерелятивистском случае решения Милна — Маккри, а также нерелятивистский и релятивистский анализ решений типа Фридмана нестационарной эволюции Вселенной. Это позволяет получить факт ускоренного расширения Вселенной как релятивистский эффект [8-10] без искусственных добавок типа лямбды Эйнштейна, темной энергии и новых полей, из классического релятивистского принципа наименьшего действия. Это ставит общую теорию относительности и космологию на твердую математическую основу и дает возможность объяснить ускоренное расширение, эксперимент хорошо проверенный (с Нобелевской премией в 2011 году).

ЛИТЕРАТУРА
1. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. М.: Наука. 1986.
2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. М.: Наука, 1988.
3. Вейнберг С. Гравитация и космология. М.: Мир, 1975, 696 стр.
4. Власов А. А. Статистические функции распределения. М.: Наука, 1966. 356 стр.
5. Vedenyapin, V., Fimin, N., Chechetkin, V. The generalized Friedmann model as a self-similar solution of Vlasov–Poisson equation system// European Physical Journal Plus. 2021. Т. 136. № 1. С. 71.
6. В. В. Веденяпин, В. И. Парёнкина, С. Р. Свирщевский, “О выводе уравнений электродинамики и гравитации из принципа наименьшего действия”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 62:6 (2022), 1016–1029 V. V. Vedenyapin, V. I. Parenkina, S. R. Svirshchevskii, “Derivation of the equations of electrodynamics and gravity from the principle of least action”, Comput. Math. Math. Phys., 62:6 (2022), 983–995.
7. Козлов В. В., Общая теория вихрей, Изд-во Удмуртского ун-та, Ижевск, 1998, 239 с.
8. Веденяпин В. В., “Математическая теория расширения Вселенной на основе принципа наименьшего действия”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 64:11 (2024), 2114–2131. V. V. Vedenyapin, “Mathematical theory of the expanding Universe based on the principle of least action”, Comput. Math. Math. Phys., 64:11 (2024), 2624–2642.
9. В. В. Веденяпин, Я. Г. Батищева, М. В. Горюнова, А. А. Руссков, “Математическая теория ускоренного расширения Вселенной на основе принципа наименьшего действия”, СМФН, 71:4 (2025), 562–584.
10. В. В. Веденяпин, “Математика ускоренного расширения Вселенной и пространство Лобачевского”, Докл. РАН. Матем., информ., проц. упр., 522 (2025), 11–18. V. V. Vedenyapin, “Mathematics of accelerated expansion of the Universe and Lobachevsky space”, Dokl. Math., 111:2 (2025), 103–109.

Волны-убийцы — неожиданно высокие волны, возникающие без видимой причины на фоне волн умеренной амплитуды. Чаще всего они связываются с действием нелинейной модуляционной неустойчивости однородных волн по отношению к слабым длинным возмущениям и рассматриваются в рамках нелинейного уравнения Шрёдингера (НУШ). Так называемые бризеры Перегрина, являющиеся точными решениями НУШ, подразумеваются простейшими математическими прототипами волн-убийц. Известны и другие бризерные решения НУШ, получившие свои названия вслед за открывателями Е. А. Кузнецовым и Н. Н. Ахмедиевым. Отметим, что бризерные решения всегда получались либо в рамках метода обратной задачи рассеяния, либо как результат абстрактных математических построений.

Мы обсуждаем, что из общих соображений форма огибающей, соответствующей максимальному усилению в результате модуляционной неустойчивости, должна быть универсальной. Более того, показываем, что бризерные решения НУШ описываются когерентным автомодельным возмущением. Изменяясь во времени, оно характеризуется постоянным значением параметра подобия уравнения (т.е. отношением нелинейности к дисперсии), подобно классическим солитонам. Таким образом, бризерные решения приобретают ясную физическую интерпретацию, не базирующуюся на интегрируемости модели. Получены приближенные аналитические бризерные решения для неинтегрируемых версий НУШ с различными степенями нелинейности. Они проверены в прямом численном моделировании неинтегрируемых НУШ.

Publications:
R. M. Rozental, A. V. Slunyaev, N. S. Ginzburg, A. S. Sergeev, I. V. Zotova, Self-similarity of rogue wave generation in gyrotrons: Beyond the Peregrine breather. Chaos, Solitons & Fractals 183, 114884 (2024).
A. V. Slunyaev, Breathers of the nonlinear Schrodinger equation are coherent self-similar solutions. Physica D 474, 134575 (2025).
C. Ward, P. Kevrekidis, Rogue waves as self-similar solutions on a
background: a direct calculation. Romanian J. Phys. 64, 112 (2019).

Представлена компактная конечно-разностная схема в сочетании с методом предиктора-корректора для решения квазилинейных дифференциальных уравнений и систем в частных производных. В качестве модельной задачи для демонстрации возможностей метода используется нелинейное уравнение Шрёдингера (НУШ). Предложенный алгоритм обеспечивает пространственную точность четвертого порядка и временную точность второго порядка при сохранении вычислительной эффективности за счет линеаризации с помощью итераций метода Ньютона — Рафсона. Как правило, одной итерации достаточно. Проведена оптимизация схемы по параметру Куранта исходя из критерия: соотношение вычислительная трудоемкость – точность решения.
Кроме того, мы представляем модифицированный метод двумерной и квазидвумерной экстраполяции Ричардсона, который позволяет повысить точность до восьмого порядка.

Численные эксперименты подтверждают высокую точность и стабильность схемы при различных значениях параметра Куранта, а также хорошее сохранение многих первых интегралов нелинейного уравнения Шрёдингера. Метод применим к произвольным гладким начальным данным и различным граничным условиям. Мы проверили его свойства на различных решениях (солитоны, столкновение нескольких солитонов, цепочки, коротковолновый шум). В двух последних случаях наблюдается чередование хаотического и упорядоченного типов поведения решений.

Под квазиклассически сосредоточенными решениями уравнения Шредингера понимается класс асимптотических решений, которые получаются для линейного уравнения Шредингера методом комплексного ростка Маслова [1,2,3]. Такие решения локализованы в окрестности траектории в фазовом пространстве (точки в каждый фиксированный момент времени), определяемой решением системы Гамильтона (классических уравнений). Данный подход также обобщается на нелинейные уравнения [4].

В предлагаемом докладе рассматривается задача Коши, в которой решения уравнения Шредингера с нелокальной нелинейностью локализованы в окрестности эволюционирующей кривой. Дополнительно в оператор уравнения вводятся анти-эрмитовые члены, которые позволяют учитывать диссипативные эффекты. Решить такую задачу удается за счет перехода в пространство переменных большей размерности, где уже удается применить элементы метода комплексного ростка Маслова. Асимптотические решения исходной задачи являются проекцией решений в расширенном пространстве на исходное. Предложенный формализм становится пригодным для рассмотрения задачи формирования вихревой решетки в конденсированных средах с коллективными возбуждениями. Показано, что этот процесс имеет квазиклассическую стадию, которая интерпретируется как квазиустановившиеся вихревые состояния. Эволюция таких состояний во многом определяется медленной деформацией кривой квазиклассической локализации. Доклад основан на статье [5].

[1] V. P. Maslov, The Complex WKB Method for Nonlinear Equations (I. Linear Theory. Birkhauser Verlag, Basel, 1994)
[2] V. V. Belov, S. Y. Dobrokhotov, Semiclassical Maslov asymptotics with complex phases. I. General approach. Theor. Math. Phys. 92(2), 843–868 (1992)
[3] V. G. Bagrov, V. V. Belov, A. Y. Trifonov, Semiclassical trajectory-coherent approximation in quantum mechanics I. High-order corrections to multidimensional time-dependent equations of Schrodinger type. Ann. Phys. 246(2), 231–290 (1996)
[4] V. V. Belov, A. Y. Trifonov, A. V. Shapovalov, The trajectory-coherent approximation and the system of moments for the Hartree type equation. Int. J. Math. Math. Sci. 32(6), 325–370 (2002)
[5] Kulagin, A., Shapovalov, A. Semiclassical states localized on a one-dimensional manifold and governed by the nonlocal NLSE with an anti-Hermitian term. Eur. Phys. J. Plus 141, 14 (2026). https://doi.org/10.1140/epjp/s13360–025-07236-6

В работе рассматривается трехмерные стационарные уравнения для политропного газа. Для построения решений используется техника группового анализа дифференциальных уравнений. Найдены решения, зависящие от трех произвольных функций для газа Чаплыгина. В случае произвольного показателя адиабаты получены явные решения зависящие от нескольких констант.

Решения волнового уравнения, содержащие произвольные функции, привлекают внимание исследователей с 18 века по сей день. Будет рассказано о четырех таких решениях и о некоторых их приложениях.

В докладе обсуждается алгебраическая модель турбулентного пограничного слоя, основанная на уравнениях вихревого потока, учитывающих продольное движение и вращение вихревых трубок. В случае плоских турбулентных течений эта модель позволяет рассчитать аналитически распределение средних скоростей в пограничных слоях при различных условиях. В частности, мы проверяем предложенную модель посредством сравнения с экспериментальными профилями, измеренными в ветровых туннелях, а также посредством аппроксимации экспериментальных профилей низкоуровневых ветровых струй, измеренных в атмосферном пограничном слое. Во всех рассмотренных случаях рассчитанные по модели профили демонстрируют хорошее соответствие экспериментальным данным.

Солитонный газ (солитонная турбулентность) является предметом интенсивных исследований из-за его большой важности для многих физических систем. Обычно этот термин используется для интегрируемых моделей, где солитоны взаимодействуют упруго. Однако солитонная турбулентность может быть также частью неинтегрируемой динамики, где могут существовать долгоживущие решения в виде почти солитонов.

В настоящем докладе представлены результаты по исследованию солитонной турбулентности в рамках уравнений типа Кортевега — де Вриза: как в интегрируемых моделях (классическое уравнение Кортевега — де Вриза, модифицированное уравнение Кортевега — де Вриза, уравнение Гарднера), так и в рамках неинтегрируемых на примере уравнения Шамеля, нелинейный член которого содержит модуль волновой функции. Некоторые важные статистические характеристики (функции распределения, моменты и т. д.) рассчитаны численно для однополярных и разнополярных солитонных газов. Динамика однополярных газов оказалось очень похожей в случае интегрируемых и неинтегрируемых моделей. Однако неупругое взаимодействие разнополярных солитонов приводит к передаче энергии от меньших солитонов к большим в рамках неинтегрируемых моделей. С увеличением числа разнополярных солитонов в волновой системе этот эффект передачи энергии от меньшего солитона к большему, а также возникновение дисперсионных волн при каждом взаимодействии солитонов приводит к существенному увеличению эксцесса (четвертого статистического момента), который в интегрированных системах оставался бы квази-стационарным. Демонстрируется возможность образования аномально больших импульсов в результате эволюции таких волновых полей.