Математические модели и методы интегрирования

Предлагается обзор исследований, связанных с т.н. морскими волнами-убийцами — неожиданно высокими волнами, по некоторым данным появляющимися слишком часто, чем ожидается. Формулируется проблема океанологии в ее сегодняшнем понимании, обозначаются направления исследований и поставленные перед ними задачи, обсуждаются уже полученные результаты.

Рассматривается полуэмпирическая модель дальнего плоского безымпульсного турбулентного следа. Построено приближенное решение, согласующееся с численным автомодельным решением, найденным с привлечением теоретико-группового анализа дифференциальных уравнений и метода стрельбы.

We present the results of the recent study of dynamics of nonlinear oceanic solitary waves under the influence of the combined effects of nonlinearity, Earth’s rotation, and depth inhomogeneity. Our consideration is based on the extended model of the Korteweg–de Vries (KdV) equation that in general accounts for the quadratic and cubic nonlinearity (the Gardner equation) with the additional terms incorporating the effects of rotation and slowly varying depth. After a brief historical outline, using the asymptotic (adiabatic) theory, we describe a complex interplay between these factors. As an application, the case of a two-layer fluid with the variable-depth lower layer is considered using the approximate theory, as well as through numerical solutions of the governing equation that includes all the above factors under realistic oceanic conditions. In particular, different scenarios of the soliton propagating toward the “internal beach” (e.g., zero lower-layer depth) are studied in which the terminal damping can be caused by radiation or disappearing quadratic nonlinearity (when the layers’ depths become equal). We also consider interaction of a soliton with a long wave providing the energy “pump” compensating the radiation losses due to rotation so that the soliton can exist infinitely. The limitations of the adiabatic approach due to the radiation and other factors are also demonstrated.

В настоящей диссертации рассматриваются два типа задач математической теории нелинейных волн. Первый тип связан с построением семейств асимптотических периодических решений системы слабосвязанных обыкновенных дифференциальных уравнений, которая получается при переходе к бегущей переменной в модельной системе зацепленных уравнений Кортевега — де Фриза. В задачах второго типа исследуются способы построения трехмерных законов сохранения коммутирующих интегрируемых гидродинамических цепочек и их редукций.

Трехмерная O(3) модель для единичного вектора n(⁣r) имеет многочисленные применения в теории поля и физике конденсированных сред. Показано,что эта модель в стационарном случае интегрируема при некоторой дифференциальной связи (определенных ограничениях на градиенты полей Θ(⁣r), Φ(⁣r), параметризующих вектор n(⁣r)). При наличии дифференциальной связи уравнения модели редуцируются к одномерному уравнению sin–Gordon, определяющему зависимость поля Θ(⁣r) от вспомогательного поля 𝑎(⁣r), и систему двух уравнений (∇𝑆)(∇𝑆) = 0, Δ𝑆 = 0 для комплекснозначной функции 𝑆(⁣r) = 𝑎(⁣r) + iΦ(⁣r). Показано, что непосредственное решение этой системы дает все известные ранее точные решения модели: двумерные магнитные инстантоны и трехмерные структуры типа ежей.

Показано, что найденное таким образом точное решение системы для поля 𝑆(⁣r) приводит к точному решению уравнений 𝑂(3)–модели в виде произвольной неявной функции от двух переменных. Обсуждается два простейших решений этих уравнений: новая магнитная структура, которая представляет две прямолинейные пересекающиеся вихревые нити и структуру типа «включения».

Исследована интегрируемость динамических уравнений O(3)-модели в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве-времени Использована дифференциальная подстановка, сводящая эти уравнения к одномерному уравнению синус-Гордон и системе из двух уравнений для комплексной функции S(r,t), которая однозначно определяет вектор n(r,t). Доказано, что решение уравнений для этой функции сводится к решению системы четырех квазилинейных уравнений для вспомогательных полей. Получено их точное решение в виде неявной функции от двух переменных, которая определяет точные решения динамических уравнений O(3)-модели с учетом дифференциальных связей. В качестве примера описаны динамика плоского вихря в пространстве R2, структура типа “ежа” и новой динамической топологической структуры.

Литература

1. А. Б. Борисов. Трехмерные вихри в модели Гейзенберга, ТМФ, 2021, том 208, номер 3, 471–480 (A. B. Borisov. Three-Dimensional Vortices in the Heisenberg Model. Theoretical and Mathematical Physics, 208(3): 1256–1264 (2021)).

2. А. Б. Борисов. Об интегрируемости 𝑂(3)–модели. Уфимский математический журнал. Том 13. № 2 (2021). С. 6-10 (А. B. Borisov, On integrability of O(3)–model, Ufimsk. Mat. Zh., 2021, Volume 13, Issue 2, 6–10).

3. А. Б. Борисов. Динамика трехмерных магнитных структур в модели Гейзенберга. ТМФ, 2022, том 210, номер 1, страницы 115–127 (A. B. Borisov. Dynamics of Three-Dimensional Magnetic Structures in the Heisenberg Model. Theoretical and Mathematical Physics, 210(1): 99–110 (2022)).

Данный доклад будет посвящен интерпретации недавнего доклада С. М. Чурилова и Ю. А. Степанянца (Безотражательное распространение поверхностных волн на мелкой воде в канале переменной ширины и глубины на фоне неоднородного течения, https://researchseminars.org/talk/mmandim/35/) с точки зрения теории обобщенной факторизации дифференциальных операторов ([1]).

Как показано в работах С. М. Чурилова, Ю. А. Степанянца и др. ([2]), факторизация оператора второго порядка с двумя независимыми переменными, описывающего распространение волн в неоднородной одномерной среде, в произведение операторов первого порядка приводит к появлению большого семейства решений, описывающих с физической точки зрения волны, которые можно считать распространяющимися без отражения от неоднородностей.

Мы расскажем о теории обобщенной факторизации операторов с частными производными второго порядка, ведущей свое начало от работ выдающихся математиков XIX — начала XX века П.-С. Лапласа, Г. Дарбу, Э. Гурса и др. и получившей дальнейшее развитие в конце XX века.

Обобщенная теория факторизации позволяет существенно расширить класс безотражательных решений.

References:
[1] Е. И. Ганжа, С. П. Царев, «Классические методы интегрирования гиперболических систем и уравнений второго порядка», 2007 (КГПУ), http://dx.doi.org/10.13140/2.1.4535.8084 Полный текст доступен по ссылке: https://www.researchgate.net/profile/Sergey-Tsarev/publication/235993531_Klassiceskie_metody_integrirovania_giperboliceskih_sistem_i_uravnenij_vtorogo_poradka/links/0c96051550c72803c2000000/Klassiceskie-metody-integrirovania-giperboliceskih-sistem-i-uravnenij-vtorogo-poradka.pdf
[2] Churilov, Semyon M., and Yury A. Stepanyants. «Reflectionless wave propagation on shallow water with variable bathymetry and current». Journal of Fluid Mechanics 931 (2022).

The Euler equations describing two-dimensional steady flows of an inviscid fluid are studied. These equations are reduced to one equation for the stream function and then, using the Hirota function, solutions of three nonlinear elliptic equations are found. The solutions found are interpreted as sources in a rotating fluid, jets, chains of sources and sinks, vortex structures. We propose a new simple method for constructing solutions in the form of rational expressions of elliptic functions. It is shown that the flux of fluid across a closed curve is quantized in the case of the elliptic Sin-Gordon equation.

Странность этого утверждения только кажущаяся и оно может быть сформулировано даже более экстравагантно. Мы даем «единственно правильное» понимание, которое стоит за реальным смыслом теоремы Пифагора. Хотя речь идет о классическом математическом утверждении, его переформулировка мотивирована квантовой темой. А именно, проблемой понимания и вывода знаменитого правила квантовой вероятности — правила Борна, — которое записывается через квадрат модуля |a|^2. Если кратко, то «почему квадрат»? Есть прямой ответ на этот вопрос, а появление этих квадратов, модулей и двоек — комплексной и обычной вещественной — оказываются совершенно однотипным.

Ключевыми словами к материалу является задача последовательного логического построения исчисления (calculus) на векторном пространстве. Тогда рассмотрение известных правил параллелограмма, неравенства треугольника, понятия углов, аксиом скалярного произведения, нормы, топологий и т.д. достаточно заменить на задачу построения количественных величин на векторах. Отсюда будет следовать сначала собственно Пифагорово утверждение и только потом (!) — вышеуказанные объекты. Теорема, при этом, перестает быть теоремой, превращаясь, грубо говоря, в некоторое естественное минималистическое определение; подробности последуют. Сам квадрат в «теореме» появляется как единственно возможное следствие. Перечисленные выше элементы школьной геометрии становятся, в свою очередь, производными от Пифагорова квадрата, с последующей ревизией первичности понятия длины. С квантовыми (комплексными) аналогами — ситуация точно такая же. Более того, именно количественно-статистическая идеология и природа квантового правила Борна дает подсказку к «новому взгляду на» и наиболее убедительные «объяснения к» этой древней греческой теореме.

В приближении мелкой воды рассмотрена линейная задача о распространении поверхностных волн на фоне неоднородного течения идеальной жидкости в канале с изменяющимися вдоль потока шириной W(x) и глубиной H(x) [1,2]. Найдены три вида соотношений, связывающих скорость течения U(x) и скорость распространения волн c(x) = sqrt(gH(x)), таких, что при выполнении любого из них волны произвольной формы распространяются без отражения как по течению, так и против него. В соответствии с этим выделены три класса безотражательных течений и исследованы их свойства. В течениях класса А скорости течения и волн связаны простым соотношением c(x)U(x) = П = const, обеспечивающим распространение волн без отражения на любые расстояния, т.е. вдоль всей оси x. В течениях классов В и С скорости связаны дифференциальным уравнением первого порядка (своим в каждом классе), которое имеет особые точки. Поэтому здесь в общем случае регулярные решения существуют лишь на ограниченных интервалах изменения x (луче или конечном интервале). Для каждого класса найдены условия, при которых есть регулярные решения на всей оси x. Кроме того, показано, что можно конструировать и «составные» безотражательные течения класса В. Общий анализ проблемы проиллюстрирован решениями для конкретных соотношений между глубиной и скоростью течения.

Публикации
1. Churilov S. M., Stepanyants Yu. A. Reflectionless wave propagation on shallow water with variable bathymetry and current. J. Fluid Mech. 931, A 15, 2022; arXiv:2108.12549v2 [physics.flu-dyn], 2021.
2. Churilov S. M., Stepanyants Yu. A. Reflectionless wave propagation on shallow water with variable bathymetry and current. II. arXiv: 2201.00307v1 [physics.flu-dyn], 2022.

Рассматривается формирование солитонов огибающей из солитонов Кортевега–де Вриза (КдВ) в процессе долговременной эволюции в рамках уравнения Островского. Это уравнение было выведено Л. А. Островским в 1978 г. для описания слабо нелинейных океанских волн, находящихся под влиянием вращения Земли. Впоследствии выяснилось, что это уравнение достаточно универсально; в настоящее время оно широко используется для описания нелинейных волн в различных средах. Это уравнение, по-видимому, неинтегрируемо и даже не имеет стационарных решений в виде уединенных волн применительно к средам с отрицательной мелкомасштабной дисперсией. Как было показано в работе Гримшоу и Хелфрика (Grimshaw, Helfrich, 2008), длительная эволюция начальных импульсов в виде солитона КдВ малой амплитуды приводит к возникновению солитонов огибающей, которые могут быть описаны нелинейным уравнением Шредингера (НУШ). Однако обобщенное нелинейное уравнение Шредингера, полученное в работе Гримшоу и Хелфрика, приводит к решениям, противоречащим результатам численного моделирования. Позднее в нашей работе с Гримшоу (Гримшоу и Степанянц, 2020), эта проблема была заново исследована и было показано, что волновой пакет, асимптотически возникающий после долговременной эволюции солитона КдВ, может быть описан обычным уравнением НУШ. Полученное решение для солитона огибающей хорошо согласуется с результатами численного моделирования.

В докладе будут рассмотрены стационарные уравнения пограничного слоя в эйлеровых переменных (при постоянном давлении поступательно движущегося внешнего потока). Для этой системы уравнений будет дано полное решение обратной задачи вариационного исчисления: будет показано, что не существует ни одного функционала действие, такого что:
1) среди его стационарных точек содержатся все решения данной системы (и, быть может, что-нибудь ещё),
2) определяемое им соответствие из теоремы Нётер нетривиально.