Математические модели и методы интегрирования

A. A. Shlapunov (SibFU), V. L. Mironov, A. N. Polkovnikov
Maxwell's and Stokes' operators associated with elliptic differential complexes

We propose a regular method for generating consistent systems of partial differential equations (PDEs) that describe a wide class of models in natural sciences. Such systems appear within typical constructions of the Homological Algebra as complexes of differential operators describing compatibility conditions for overdetermined PDEs. Additional assumptions on the ellipticity/parameter-dependent ellipticity of the differential complexes provide a wide range of elliptic, parabolic and hyperbolic operators. In particular, most equations related to modern Mathematical Physics are generated by the de Rham complex of differentials on exterior differential forms. These includes the equations based on elliptic Laplace and Lam\'e type operators; the parabolic heat and mass transfer equations; the Euler type and Navier-Stokes type equations in Hydrodynamics; the hyperbolic wave equation and the Maxwell equations in Electrodynamics; the Klein-Gordon equation in Relativistic Quantum Mechanics; and so on. The advantage of our approach is that this generation method covers a broad class of generating systems, especially in high dimensions, due to different underlying algebraic structures than the conventional ones.

Заседание

А. Б. Борисов, Д. В, Долгих (Институт физики металлов имени М. Н. Михеева УрО РАН, Екатеринбург)
Симметрии классической модели Гейзенберга

Исследованы симметрии классической модели Гейзенберга. Показано, что такими симметриями являются группы конформных преобразований и вращений. Изучена инвариантность вихревых структур относительно группы вращений. Применение найденных преобразований группы вращений полей к уже найденным решениям модели Гейзенберга (таким как инстантоны, вихревые «мишени» и «спирали») порождает другие структуры — также решения этой модели, свойства которых определяются исходными структурами.

Ключевые слова: модель Гейзенберга, ферромагнетик, вихрь, группы Ли

Заседание

С. П. Царев (СФУ)
Sparse recovery and Compressive sensing in theory and in practice

Уже в 90-х годах прошлого века были предложены алгоритмы решения линейных систем с числом уравнений, меньшим, чем число неизвестных, при условии, что среди неизвестных лишь небольшое число ненулевых (однако нам неизвестно, какие из них ненулевые!).

Новый этап был открыт в начале 2000-х с появлением работ, авторами которых были известный специалист в численных методах обработки сигналов David Donoho и математик-лауреат Филдсовской премии Terence Tao и их ученики. Результаты в этой области были удостоены премии Гаусса 2018 г. (премия Международного математического союза), были доложены как пленарные доклады на Международном конгрессе математиков и т.д.

После работ Донохо, Тао и многих других исследователей прогресс в данной области развивался поистине стремительными темпами. Сама теоретическая область получила название compressive sensing или compressed sensing (наряду с более давним именем sparse recovery). Практические применения очень обширны и привести исчерпывающий список просто невозможно.

Наиболее известны применения этих результатов в обработке сигналов. Особо следует отметить успехи, достигнутые с помощью технологий sparse recovery в магнитно-резонансной томографии (Magnetic resonance imaging = MRI), что позволило в несколько раз сократить время, проводимое пациентами в аппарате МРТ и улучшить качество получаемого изображения.

В докладе будут рассказаны об основных идеях этой области и о небольшом практическом применении в задаче нахождения разрывов в зашумленном сигнале.

Заседание

С. М. Чурилов (Институт солнечно-земной физики СО РАН, Иркутск)
О распространении волн без отражения в неоднородной среде: альфвеновские волны в течениях плазмы вдоль магнитного поля

В приближении идеальной магнитной гидродинамики рассмотрена одномерная задача о распространении линейных альфвеновских волн в стационарном неоднородном течении плазмы вдоль прямого однородного магнитного поля. Найдены четыре семейства течений, в которых обе волны произвольной формы, ускоренная и замедленная течением, могут распространяться независимо друг от друга, т.е. без отражения. Показано, что в двух семействах течений обе волны имеют аналогичную структуру, а в двух других семействах их структуры существенно различаются.

Заседание

В. Л. Миронов (Институт физики микроструктур РАН, Нижний Новгород)
Самосогласованная гидродинамическая модель плазмы. Звуковые волны в плазме

Заседание

А. О. Смирнов (Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения)
Различия между решениями скалярных и векторных интегрируемых нелинейных уравнений с точки зрения теории конечнозонного интегрирования

Заседание

Б. И. Сулейманов (Институт математики с вычислительным центром, Уфа)
Мероморфность решений системы уравнений типа Пенлеве 34, связанной с негативными симметриями уравнения Кортевега — де Вриза

Доклад посвящен доказательству того факта, что при $t\neq 0$ все локально голоморфные решения системы ОДУ
$$(y_j)'''_{xxx}=S_j(x,t,y_j, u,(y_j)'_x, u'_x)=2u'_xy_j+4(u-\lambda_j)(y_j)'_x,\; (j=1, \dots,n),$$
где $u=\frac{x}{6t}+\frac{1}{3t}\sum_{j=1}^n y_j$ мероморфно продолжимы на всю комплексную плоскость изменения переменной $x$. Данная система ОДУ при $n=1$ эквивалентна уравнению Пенлеве 34 (которое, в свою очередь, выражается через решения второго уравнения Пенлеве). Она была введена в рассмотрение в недавней статье V. E. Adler, M. P. Kolesnikov, JMP, 2023. Этой системе и её связям с негативными симметриям была посвящена часть предыдущего доклада В. Э. Адлера на данном семинаре.

Доклад основан на совместном исследовании с проф. А. В. Домриным, МГУ.

Заседание

В. Э. Адлер (Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау)
Негативные симметрии: свойства и приложения. Продолжение, часть 2

Одно из определений негативной симметрии интегрируемого уравнения даётся формулой u_t=(R-a)^{-1}(0), где R — оператор рекурсии, a — параметр. Такое расширение алгебры симметрий представляет интерес с разных точек зрения: 1) негативная симметрия может быть интересна как самостоятельное уравнение; 2) она содержит в себе информацию о всей интегрируемой иерархии, так как разложение по параметру a служит производящей функцией для высших симметрий; 3) имеются приложения в задаче построения конечномерных редукций, особенно в сочетании с классическими симметриями (что даёт подход к построению решений, выражающихся через высшие аналоги трансцендентов Пенлеве); 4) имеются связи с другими конструкциями, такими, как симметрии с квадратами собственных функций и преобразования Бэклунда. В докладе будут рассмотрены примеры, связанные с уравнениями КдФ, Буссинеска, Кричевера — Новикова и с цепочкой Вольтерры.

Заседание

В. Э. Адлер (Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау)
Негативные симметрии: свойства и приложения

Заседание

В. Л. Миронов, С. В. Миронов (Институт физики микроструктур РАН, Нижний Новгород)
Седеонные уравнения для полей с массой кванта, не равной нулю. Модель барион-барионного взаимодействия

На основе пространственно-временной алгебры седеонов сформулированы симметричные уравнения для полей с ненулевой массой кванта. Рассматривается обобщение калибровочной (градиентной) инвариантности уравнений с учетом ненулевой массы кванта. Обсуждается модель взаимодействия точечных барионов.

1. V. L. Mironov, S. V. Mironov. Sedeonic equations in field theory, Advances in Applied Clifford Algebras, 30, 44 1-26 (2020).
2. S. V. Mironov, V. L. Mironov. Sedeonic equations of massive fields // International Journal of Theoretical Physics, 54(1), 153–168 (2015).
3. V. L. Mironov, S. V. Mironov. Gauge invariance of sedeonic equations for massive and massless fields, International Journal of Theoretical Physics, 55, 3105 (2016).

Заседание

В. И. Кузоватов (СФУ)
Дзета-функция корней некоторого класса целых функций и ее свойства

В докладе будет рассмотрена дзета-функция Римана и способ получения функционального соотношения для нее, основанный на интегральных представлениях: классической формуле Плана и интегральном представлении Бине. Будет введено обобщение дзета-функции Римана, а именно дзета-функция корней некоторого класса целых функций, указана связь с классической дзета-функцией Римана.

Основным результатом доклада являются интегральные представления для дзета-функции корней, аналог формулы Плана и формулы Бине. Открытая задача: функциональное уравнение для дзета-функции корней, аналогичное функциональному уравнению для дзета-функции Римана.

Заседание

А. В. Боровских (МГУ)
Геометрия группы Ли в групповом анализе одномерного кинетического уравнения

Групповая классификация одномерных кинетических уравнений (о которой рассказывалось в прошлом докладе) и которая выполнялась с целью исследования возможности установления связи между кинетическими уравнениями и уравнениями сплошной среды с использованием группового подхода, помимо уравнений с максимальной (8-мерной) группой симметрий, которые эквивалентны уравнению с отсутствующим внешним силовым полем, дала еще ряд уравнений с субмаксимальными группами симметрий (размерности три). Эти уравнения связаны с весьма экзотическими силовыми полями, рассмотрение которых можно было бы считать малоинтересным с точки зрения приложений, если бы группы симметрий в самых экзотических случаях не оказались бы в точности совпадающими с группами движений двумерных (в пространстве переменных (t, x)) римановых метрик постоянной кривизны.

Это поставило вопрос о том, какова геометрическая сторона полученной классификации? Что это означает с геометрической точки зрения? Попытки усмотреть какие-то геометрические интерпретации в остальных субмаксимальных случаях успеха не имели до тех пор, пока рассмотрения велись в пространстве переменных (t, x). Помог здесь достаточно странный, с точки зрения физики, сдвиг исходных позиций, состоящий в том, что геометрия стала рассматриваться не в двумерном, а в трехмерном пространстве (t, x, c), включающем, помимо прежних переменных — времени и координаты — еще и скорость.

Такой ход позволил совсем по-другому взглянуть на геометрию. Поскольку размерность рассматриваемого пространства переменных оказалась совпадающей с размерностью группы, искомая геометрия автоматически оказывалась и геометрией самой группы. То есть речь пошла уже о том, возможно ли на самой группе Ли задать риманову геометрию так, чтобы она была инвариантна относительно этой группы? Ответ оказался положительный и простой, такая геометрия задавалась, как выяснилось, квадратичной формой с постоянными коэффициентами от n линейных дифференциальных форм, инвариантных относительно той же группы. При этом оказалось, что для любой такой квадратичной формы (для любых коэффициентов) траектории частиц в пространстве переменных (t, x, c) являются спиралями, то есть имеют постоянную кривизну и кручение. Основную же роль в обосновании этого факта сыграла алгебра, которая была названа двойственной, и которая определяется условием коммутации с исходной алгеброй. Траектории частиц, которые были упомянуты выше, оказываются траекториями однопараметрических подгрупп этой двойственной алгебры, и тот факт, что эти траектории являются спиралями, порождает массу вопросов об отношении этой геометрии к геометрическим конструкциям Э. Картана, который полагал траектории однопараметрических групп геодезическими.

Заседание

А. В. Велисевич (СФУ)
Обратные задачи для эллиптических уравнений и уравнений соболевского типа

Рассматриваются три обратные задачи отыскания неизвестной функции и неизвестного младшего коэффициента в эллиптическом уравнении с граничными данными различного типа и интегральным условием переопределения на границе исследуемой области. Также исследуются условия стабилизации сильного решения обратной задачи для уравнения соболевского типа к решению одной из этих задач. Оператор 𝑀 предполагается сильно эллиптическим и самосопряженным.

Основными результатами работы являются теоремы существования и единственности сильного обобщенного решения исходных задач, а также достаточные условия непрерывной зависимости решений этих задач от исходных данных. Кроме того, к основным результатам относятся достаточные условия стабилизации сильного решения обратной задачи для уравнения соболевского типа к сильному решению соответствующей стационарной обратной задачи для эллиптического уравнения с интегральным условием переопределения на границе.

Существование и единственность доказываются методом, суть которого состоит в продолжении данных с границы в область и сведении обратной задачи к операторному уравнению второго рода, для неизвестного коэффициента.

Практический интерес к данным задачам обусловлен тем фактом, что в многочисленных приложениях коэффициенты исходного уравнения характеризуют физические свойства среды: проницаемость, теплопроводность и так далее. В рассмотренных задачах неизвестным является коэффициент поглощения.

Заседание

В. В. Веденяпин, Н. Н. Фимин, В. М. Чечеткин, А. Г. Петров (ИПМ им. М. В. Келдыша РАН / ИПМех им. А. Ю. Ишлинского РАН)
Уравнение Власова — Эйнштейна и точки Лагранжа

В классических работах (см. [1]) уравнения для полей предлагаются без вывода правых частей. Здесь мы даем вывод правых частей уравнений Максвелла и Эйнштейна в рамках уравнений Власова — Максвелла — Эйнштейна из классического принципа наименьшего действия [2-4], а также их гидродинамических и Гамильтон — Якобиевых следствий [2-4]. Ускоренное расширение Вселенной, отмеченное Нобелевской премией по физике в 2011 году, вызывает пристальное внимание. Общепринятым объяснением сейчас является добавление лямбда-члена Эйнштейна в релятивистское действие. И хорошо известно, что в нерелятивистской теории это соответствует добавлению отталкивающего квадратичного потенциала [2-4]. Мы изучаем решение типа Фридмана [2-4] (модель Милна — Маккри) и точки Лагранжа с таким потенциалом [4].

1. Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения. М.: ЛКИ, 2007.
2. Веденяпин В. В., Воронина М. Ю., Руссков А. А. О выводе уравнений электродинамики и гравитации из принципа наименьшего действия. Доклады РАН, 2020, том 495, с. 9–13.
3. V. V. Vedenyapin, N. N. Fimin, V. M. Chechetkin. The generalized Friedman model as a self–similar solution of Vlasov–Poisson equations system // European Physical Journal Plus, 136, No 670 (2021).
4. В. В. Веденяпин, В. И. Паренкина, А. Г. Петров, Чжан Хаочэнь. Уравнение Власова — Эйнштейна и точки Лагранжа // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. 2022. № 23, 23 с.

Заседание

В. А. Дородницын (ИПМ РАН, Москва)
Симметрии и законы сохранения для дифференциальных уравнений, разностных уравнений и ОДУ второго порядка с запаздыванием

Доклад посвящен операторным тождествам для лагранжиана и гамильтонову подходу к связи симметрии уравнений с законами сохранения, а также тождеству Лагранжа для уравнений, не имеющих вариационной постановки. Мы также рассматриваем разностные уравнения и ОДУ с запаздывающим аргументом и соответствующие операторные тождества.

Доклад основан на совместных работах с Романом Козловым, Павлом Винтерницем, Сергеем Мелешко и Евгением Капцовым.

Заседание

В. Л. Миронов, С. В. Миронов (Институт физики микроструктур РАН, Нижний Новгород)
Седеонные уравнения электромагнитного поля. К вопросу о симметрии между электричеством и магнетизмом

На основе пространственно-временной алгебры седеонов сформулированы симметричные уравнения электромагнитного поля. Подробно обсуждается роль калибровки Лоренца и проводится обобщение калибровочной (градиентной) инвариантности уравнений электромагнитного поля. Рассматривается электродинамика монополей Дирака и дионов Швингера. Обсуждается дионная модель заряженных частиц.

1. V. L. Mironov, S. V. Mironov, Sedeonic equations in field theory, Advances in Applied Clifford Algebras, 30, 44 1-26 (2020).
2. V. L. Mironov, S. V. Mironov, Sedeonic field equations for dyons, Advances in Applied Clifford Algebras, 28(3), 64 1-17 (2018).

Заседание

R. Ibragimov (Mathematics & Computer Science, De Gruyter, Boston, MA, USA)
Invariant Solutions of Nonlinear Mathematical Modeling of Natural Phenomena

The main objective is to demonstrate the advantages of the invariance method in obtaining new exact analytic solutions expressed in terms of elementary functions for various physical phenomena. As one particular application of the invariance method will be the mathematical modeling of oceanic and atmospheric whirlpools causing weather instabilities and, possibly, linked with climate change. As another particular example, it will be demonstrated that the invariance method allows to obtain the exact solutions of fully nonlinear Navier-Stokes equations within a thin rotating atmospheric shell that serves as a simple mathematical description of an atmospheric circulation caused by the temperature difference between the equator and the poles with included equatorial flows modeling heat waves, known as Kelvin Waves. Special attention will be given to analyzing and visualizing the conserved densities associated with obtained exact solutions. As another modeling scenario, the exact solution of the shallow water equations simulating equatorial atmospheric waves of planetary scales will be analyzed and visualized.

Заседание

Phil Broadbridge (La Trobe University, Australia and IMI-Kyushu University, Japan)
Reaction-diffusion models for fish populations with realistic mobility

Nonlinear reaction-diffusion equations, with Fisher logistic growth and constant diffusion coefficient, have been used in fisheries research to estimate sustainable harvesting rates and critical domain sizes of no-take areas. However, constant diffusivity in a population density corresponds to standard Brownian motion of individuals, with a normal distribution for displacement over a fixed time interval. For available good data sets on mobile fish populations, the distribution is certainly not normal. The data can be fitted with a long-tailed Lévy distribution that corresponds to diffusion by fractional Laplacian.

We have developed exact solutions for realistic Fisher-Kolmogorov-Petrovski-Piscounov models with diffusion by fractional Laplacian. These can also account for a delay in the reaction term. It is then shown how to modify critical domain sizes of protected areas.

Заседание

А. В. Шмидт
Приближенное решение модели дальнего безымпульсного турбулентного следа

Для описания течения в дальнем безымпульсном турбулентном следе привлекается модель, основанная на алгебраической модели Роди рейнольдсовых напряжений. Получена автомодельная редукция уравнений модели к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Для построения приближенного решения соответствующей краевой задачи используется асимптотическое разложение решения в окрестности особой точки.

Заседание

В. Л. Миронов, С. В. Миронов (Институт физики микроструктур РАН, Нижний Новгород)
Седеонное обобщение уравнений гидродинамики. Вихревые модели плоских турбулентных течений, ограниченных стенками

В докладе обсуждается обобщение уравнений гидродинамики на основе антикоммутативной пространственно-временной алгебры 16-компонентных седеонов. Получена симметричная система уравнений максвелловского типа, которая описывает продольное движение и вращение вихревых трубок. На основе данных уравнений предлагается простая модель плоского полностью развитого турбулентного течения. В качестве примеров рассматриваются турбулентные пристеночные течения, а также течения Куэтта и Пуазейля в прямоугольных каналах.

1. V. L. Mironov, S. V. Mironov, Sedeonic equations in field theory, Advances in Applied Clifford Algebras, 30, 44 1-26 (2020).
2. V. L. Mironov, S. V. Mironov, Generalized sedeonic equations of hydrodynamics, European Physical Journal Plus, 135(9), 708 (2020).
3. V. L. Mironov, S. V. Mironov, Vortex model of plane Couette flow, Fluids, 8(6), 165 (2023).

Заседание

А. В. Боровских, К. С. Платонова (МГУ, Москва)
Групповой анализ одномерного кинетического уравнения и проблема замыкания моментной системы

Доклад посвящен проблеме, восходящей к работам Максвелла и Клаузиуса — связи между кинетическими уравнениями частиц среды и макроскопическими характеристиками среды. В современной форме вопрос состоит в том, как из кинетических уравнений получить уравнения сплошной среды. Принципиальная проблема состоит в следующем: интегрирование кинетического уравнения со степенными весами по скоростям дает бесконечную систему уравнений, первые из них очень похожи на уравнения сплошной среды. Но система уравнений сплошной среды конечна. Значит, бесконечную систему надо урезать и замкнуть. Проблема состоит из двух вопросов: где урезать и каким соотношением замкнуть. В докладе будет представлен подход, основывающийся на групповых методах. Идея состоит в том, чтобы вычислить группу симметрий кинетического уравнения, перенести ее действие на макроскопические величины, найти инварианты уже в терминах макроскопических величин, и с их помощью построить замыкание. Это удалось с успехом реализовать в одномерном случае, подробности будут представлены в докладе.

Заседание

О. В. Капцов
Решения некоторых волновых моделей механики

В докладе рассматриваются одномерные нестационарные уравнения с частными производными второго порядка, описывающие волны в неоднородных и нелинейных средах.

Для построения решений используются контактные преобразования и дифференциальные подстановки Эйлера.

Найдены общие решения некоторых нестационарных моделей механики сплошной среды.

Заседание

К. Дружков (Российско-Армянский университет, Ереван)
Внутренние лагранжианы как вариационные принципы

Классический принцип стационарного действия связан с лагранжианами, определёнными на пространствах джетов. Соответствующие уравнения движения представляют собой поверхности в таких пространствах. Оказывается, что в дополнение к этому принцип стационарного действия всегда воспроизводит себя на уровне внутренней геометрии соответствующего вариационного уравнения. При этом возникает «внутренний интегральный функционал», определённый на классе особых подмногообразий уравнения. Эти подмногообразия имеют размерность как у решений и склеены из начально-краевых условий, продолженных на старшие производные; в этом смысле они представляют собой «почти решения».

Все решения вариационных уравнений заведомо являются стационарными точками внутренних интегральных функционалов в соответствующих классах почти решений. В зависимости от ситуации стационарными точками таких функционалов могут быть не только решения. Однако если почти решение уравнений Эйлера — Лагранжа склеено из нехарактеристических начально-краевых условий, оно является стационарной точкой соответствующего внутреннего функционала тогда и только тогда, когда оно является решением.

В этой связи удаётся также сформулировать соответствующую версию теоремы Нётер, согласно которой всякая симметрия вариационных уравнений либо определяет законы сохранения, либо порождает внутренние интегральные функционалы.

Предлагаемая конструкция служит ответом на вопрос о том, почему внутренняя геометрия вариационных уравнений знает об их вариационной природе: функционал действие всегда воспроизводит себя внутри соответствующих уравнений с помощью порождаемого им внутреннего функционала.

Заседание

Е. И. Капцов (Suranaree University of Technology, Thailand), В. А. Дородницын, С. В. Мелешко
Методы построения инвариантных консервативных кончено-разностных схем для уравнений гидродинамического типа

При выборе подходящих конечно-разностных схем для уравнений гидродинамического типа отдают предпочтение различным свойствам схем, таким, как их монотонность, устойчивость, сохранение фазовых объемов и др. В рамках доклада мы сосредотачиваемся на критерии инвариантности схем, т.е. рассматриваем разностные уравнения и сетки, сохраняющие симметрии исходных дифференциальных уравнений.

Для уравнений гидродинамического типа конструирование инвариантных разностных схем зачастую существенно упрощается, если рассматривать уравнения в координатах Лагранжа, – в этом случае могут быть использованы простейшие равномерные ортогональные сетки, которые сохраняют свою геометрическую структуру при действии групповых преобразований, наследуемых от исходных уравнений. Кроме того, в координатах Лагранжа облегчается отыскание законов сохранения как для дифференциальных уравнений, так и для соответствующих инвариантных разностных схем. В ряде случаев удается построить инвариантные консервативные схемы, обладающие разностными аналогами всех локальных законов сохранения исходных моделей.

Доклад в первую очередь посвящен практическим аспектам конструирования схем описанного типа. Для этого выработан ряд специальных приемов и методов. Наиболее удобным оказывается разностный аналог прямого метода, а также техника построение схем по аппроксимациям законов сохранения.
В качестве основных примеров рассматриваются различные уравнения теории мелкой воды и одномерные уравнения магнитной гидродинамики.

Ссылки

1. Dorodnitsyn V. A., Kaptsov E. I., Discrete shallow water equations preserving symmetries and conservation laws. J. Math. Phys., 62(8):083508, 2021.
2. Kaptsov E. I., Dorodnitsyn V. A., Meleshko S. V., Conservative invariant finite-difference schemes for the modified shallow water equations in Lagrangian coordinates. Stud. Appl. Math., 2022; 149: 729–761.
3. Dorodnitsyn V. A., Kaptsov E. I., and Meleshko S. V., Symmetries, conservation laws, invariant solutions and difference schemes of the one-dimensional Green–Naghdi equations. J. Nonlinear Math. Phys., 28:90–107, 2020.
4. Cheviakov A. F., Dorodnitsyn V. A., Kaptsov E. I., Invariant conservation law-preserving discretizations of linear and nonlinear wave equations, J. Math. Phys., 61 (2020) P. 081504.
5. Dorodnitsyn V. A., Kaptsov E. I., Invariant finite-difference schemes for plane one-dimensional MHD flows that preserve conservation laws. Mathematics, 10(8):1250, 2022.
6. Kaptsov E. I., Dorodnitsyn V. A., Invariant conservative finite-difference schemes for the one-dimensional shallow water magnetohydrodynamics equations in Lagrangian coordinates. Submitted. Preprint: https://arxiv.org/abs/2304.03488
7. Kaptsov E. I., Dorodnitsyn V. A., Meleshko S. V., Invariant finite-difference schemes for cylindrical one-dimensional MHD flows with conservation laws preservation. Submitted. Preprint: http://dx.doi.org/10.48550/arXiv.2302.05280

Заседание

Б. И. Сулейманов (Институт математики с вычислительным центром УФИЦ РАН, Уфа)
Мероморфность решений широкого класса обыкновенных дифференциальных уравнений типа Пенлеве

Доклад основан на двух совместных с А. В. Домриным и М. А. Шумкиным публикациях.
1. Домрин А. В., Сулейманов Б. И., Шумкин М. А. О глобальной мероморфности решений уравнений Пенлеве и их иерархий. Анализ и математическая физика, Сборник статей. К 70-летию со дня рождения профессора Армена Глебовича Сергеева, Тр. МИАН, 311, МИАН, М., 2020, 106–122 (A. V. Domrin,, B. I. Suleimanov, and M. A. Shumkin. Global Meromorphy of Solutions of the Painlevé Equations and Their Hierarchies. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2020, Vol. 311, Issue 1, pp. 98–113).
2. V. Domrin, M. A. Shumkin and B. I. Suleimanov. Meromorphy of solutions for a wide class of ordinary differential equations of Painlevé type. Journal of Mathematical Physics. Vol.: 63. Issue 2 (2022).

Отталкиваясь от на результатов А. В. Домрина о локальной по времени мероморфной продолжимости из области аналитчности решений солитонных уравнений параболического типа, в докладе будет доказана мероморфность решений начальных задач для широкого класса обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти обыкновенные дифференциальные уравнения задаются инвариантными многообразиями нелинейных уравнений в частных производных параболического типа, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния. В качестве примеров рассмотрены случаи некоторых из уравнений Пенлеве и их иерархий.

Заседание

K. R. Khusnutdinova (Department of Mathematical Sciences, Loughborough University, UK)
On elliptic cylindrical Kadomtsev-Petviashvili equation for surface waves

There exist two classical versions of the Kadomtsev-Petviashvili (KP) equation [1], related to the Cartesian and cylindrical geometries of the waves (derivations for surface waves were given in [2] and [3], respectively). We derived and studied a version related to the elliptic-cylindrical geometry in [4] (joint work with Klein, Matveev and Smirnov). The derivation was given from the full set of Euler equations for surface gravity waves with the account of surface tension. The ecKP equation contains a parameter, and it reduces to the cKP equation both when this parameter tends to zero, and when the solutions are considered at distances much larger than that parameter. We showed that there exist transformations between all three versions of the KP equation associated with the physical problem formulation (KP, cKP and ecKP equations), and used them to obtain new classes of approximate solutions for the Euler equations. The solutions exist on the whole plane (at least formally). We hope that they could be useful in describing an intermediate asymptotics for the problems where sources, boundaries and obstacles have elliptic or nearly-elliptic geometry.

References:
[1] B. P. Kadomtsev, V. I. Petviashvili, On the stability of solitary waves in weakly dispersing media, Sov. Phys. Dokl., 15 (1970) 539–541.
[2] M. J. Ablowitz and H. Segur, On the evolution of packets of water waves, J. Fluid Mech., 92 (1979) 691–715.
[3] R. S. Johnson, Water waves and Korteweg — de Vries equations, J. Fluid Mech., 97 (1980) 701–719.
[4] K. R. Khusnutdinova, C. Klein, V. B. Matveev, A. O. Smirnov, On the integrable elliptic cylindrical Kadomtsev-Petviashvili equation, Chaos 23 (2013) 013126.

Заседание

М. В. Павлов (ФИАН, Москва)
Эллиптические ортогональные системы координат и разделение переменных в операторе Лапласа

Разделение переменных в системах уравнений в частных производных — одна из важных и интересных задач. Прекрасный обзор этой области был представлен в книге Э. Т. Уиттекера и Дж. Н. Ватсона в 1905 году.

В докладе будет предложена интерпретация известных результатов, которая позволит лучше понять препятствия и возможности в теории разделения независимых переменных.

Заседание

Y. Stepanyants (University of Southern Queensland ), Q. Guo, W. Hu, Z. Zhang
Solitary waves in the cylindrical Kadomtsev–Petviashvili equation

We present exact solutions in the form of solitary waves in the cylindrical Kadomtsev–Petviashvili (cKP) equation (alias Johnson equation) which describes nonlinear wave processes in dispersive media. This equation belongs to the class of completely integrable systems; however, its exact solutions were not studied in detail albeit some particular solutions were found. We show that this equation has relationships with the classical Korteweg–de Vries and plane Kadomtsev–Petviashvili equations. Using these relationships, some new solutions can be formally obtained that represent cylindrically diverging solitary waves and compact solitary waves called lumps. We demonstrate interesting properties of lumps solutions specific for the cylindrical geometry. Exact solutions describing normal and anomalous lump interactions are found and graphically illustrated.

Заседание

The formation of the coherent vortical structures in the form of thin pancakes for three-dimensional flows is studied at the high Reynolds regime when, in the leading order, the development of such structures can be described within the Euler equations for ideal incompressible fluids. Numerically and analytically on the base of the vortex line representation [1, 2] we show that compression of such structures and respectively increase of their amplitudes are possible due to the compressibility of the vorticity in the 3D case [3]. It is demonstrated that this growth has an exponential behavior and can be considered as folding (analog of breaking) for the divergence-free fields of vorticity. At high amplitudes this process in 3D has a self-similar behavior connected the maximal vorticity and the pancake width by the relation of the universal type [4].

[1] E. A. Kuznetsov, V. P. Ruban, Hamiltonian dynamics of vortex lines for systems of the hydrodynamic type, Pis’ma ZhETF, 76, 1015 (1998) [JETP Letters, 67, 1076–1081 (1998)].

[2] E. A. Kuznetsov, Vortex line representation for flows of ideal and viscous fluids, Pis’ma v ZHETF, 76, 406–410 (2002) [JETP Letters, 76, 346–350 (2002)].

[3] D. S. Agafontsev, E. A. Kuznetsov, A. A. Mailybaev, and E. V. Sereshchenko, Compressible vortex structures and their role in the hydrodynamical turbulence onset, UFN 192, 205–225 (2022) [Physics Uspekhi, 65 189 — 208 (2022)].

[4] D. S. Agafontsev, E. A. Kuznetsov and A. A. Mailybaev, Development of high vorticity structures and geometrical properties of the vortex line representation, Phys. Fluids 30, 095104-13 (2018); Stability of tangential discontinuity for the vortex pancakes, Pisma ZHETF, 114, 67-71 (2021) [JETP Letters, 2021, 114, 71–75 (2021)].

Заседание

С. М. Чурилов (Институт солнечно-земной физики СО РАН, Иркутск)
Слабо-нелинейная стадия развития неустойчивости в сдвиговых течениях с профилем скорости без точек перегиба и тонким пикноклином

В слабо стратифицированных течениях рассматриваемого класса наиболее неустойчивые волны занимают существенную трехмерную часть спектра и имеют очень близкие инкременты. Кроме того, их фазовые скорости очень близки, поэтому их индивидуальные критические слои сливаются воедино. Исходя из этого, получены и проанализированы нелинейные эволюционные уравнения, описывающие развитие неустойчивых возмущений. Показано, что на протяжении всей слабо-нелинейной стадии развития амплитуды волн растут взрывным образом, причем на первом (трехволновом) этапе преимущественно усиливается длинноволновая часть спектра, а затем, когда в игру включается множество разнообразных взаимодействий более высокого порядка, коротковолновая часть спектра ее догоняет. Полученные результаты подтверждены численными расчетами эволюции некоторых ансамблей волн.

Заседание

А. В. Боровских (МГУ)
Групповой анализ уравнения эйконала

В докладе будут представлены результаты группового анализа уравнения эйконала — уравнения, описывающего фронт распространяющейся волны. Актуальность такого анализа возникла в связи с исследованием распространения волн в неоднородной и анизотропной среде. В волновой теории обычно предполагается, что эйконал уже известен, а на самом деле для каких сред (кроме канонической однородной) уравнение эйконала можно проинтегрировать — было неизвестно.

Групповая классификация сначала трехмерных, затем двумерных, а в конце концов — анизотропных уравнений показала, что задача групповой классификации оказывается наиболее содержательной и продуктивной только в наиболее общей постановке. Именно тогда обнаруживаются четкие связи с геометрией, физикой и аналитическими свойствами уравнений. Именно поэтому полученная классификация, вместе со всей совокупностью указанных связей, может рассматриваться как образцовая.

Заседание

С. М. Чурилов, И. Г. Шухман (Институт солнечно-земной физики СО РАН, Иркутск)
Критический слой и слабо-нелинейная эволюция неустойчивых квазимонохроматических возмущений в сдвиговых течениях

Согласно теореме Ховарда о полукруге, в плоско-параллельном сдвиговом течении V_x = U(z) вещественная часть фазовой скорости c неустойчивого возмущения ~ f(z)exp[ik(x-ct)] лежит в интервале между минимумом и максимумом скорости течения и совпадает с ней на некотором критическом уровне (КУ) z=z_c, Re c = U(z_c). В узкой окрестности КУ, — критическом слое (КС), — жидкие частицы находятся в фазовом резонансе с волной и интенсивно взаимодействуют с ней. В случае идеализированной постановки задачи, не принимающей во внимание диссипацию (вязкость), нестационарность и нелинейность, собственная функция возмущения f(z) имеет особенность на КУ. Учет любого из перечисленных факторов делает решение регулярным, но относительная величина возмущения внутри КС остается большой. Поэтому главные нелинейные взаимодействия происходят внутри КС, что существенно облегчает построение слабо-нелинейной теории эволюции неустойчивого возмущения.

С каждым из указанных факторов связан свой масштаб длины,
— вязкий, L_ν = (k^3 Re)^{-1/3} = O(ν^{1/3}),
— нестационарный L_t = |(kU'_c A)^{-1} d|A|/dt| = O(γ)
— нелинейный L_N ~ |A/U'_c|^δ,

где Re – число Рейнольдса, A(t) – амплитуда волны, δ – показатель, зависящий от поведения f(z) на КУ. Больший из этих масштабов определяет не только ширину КС, но и характер решения внутри него. Поэтому уместно различать вязкий, нестационарный и нелинейный КС, имея при этом в виду, что в ходе эволюции возмущения соотношение масштабов и вид КС могут измениться.

Анализ показывает, что возможные сценарии эволюции исчерпываются небольшим числом принципиально отличающихся вариантов. Осуществление того или иного сценария зависит, главным образом, от степени надкритичности исходного неустойчивого течения и от характера особенности f(z) на КУ.

Заседание

С. П. Царев (СФУ)
Проблема Монжа: бесквадратурное интегрирование недоопределенных нелинейных ОДУ и эффективная парковка автомобилей

Этот доклад посвящен старой теме поиска решений «в явном виде» (без квадратур) НЕДООПРЕДЕЛЕННЫХ систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, начатой Г. Монжем в 1784 г. и исследовавшейся позже Гурса (1905 г.), Гильбертом (1913 г.) и Картаном (1914 г.).

В последние десятилетия ХХ века эта проблема привлекла внимание специалистов по нелинейному управлению. В частности, техника решения этой задачи использовалась при разработке алгоритмов управления неголономными механическими системами. Типичным примером такой системы является грузовик с N прицепами. Парковка такого движущегося назад «автопоезда» — популярная непростая задача! Современные результаты, основанные на старых исследованиях Гурса, сделали возможным автоматическое управление такими транспортными средствами.

Для интересующихся проблемой интегрирования ОДУ и УрЧП «в явном виде»: используя упомянутые выше результаты, часто можно удалить излишние квадратуры в окончательных выражениях для полного решения C-интегрируемых нелинейных УрЧП.

Мы (вынужденно кратко) представим в докладе как классические результаты Монжа, Картана и Гильберта, так и современные аспекты и обсудим интригующие детали проблемы Монжа.

Заседание

А. Д. Юнаковский (Институт прикладной физики РАН, Нижний Новгород )
Методы численного моделирования НУШ

Появление суперкомпьютеров позволило моделировать многомерные НУШ и выявило новые проблемы: потребовались новые распараллеливаемые алгоритмы.

Для уравнений «параболического» типа, к которым относится нестационарное уравнение Шредингера, численные схемы обладают очень жесткими условиями устойчивости: Δt < Δx^2, что, по сути дела, при измельчении сетки замедляет решение задачи. Помимо этого, в уравнениях типа НУШ высокие пространственные гармоники не затухают с течением времени, а имеют быстро меняющиеся фазы, что приводит даже при «относительно мягком» условии устойчивости к явлению случайных фаз.

Дается обзор сеточных и спектральных методов нахождения приближенных решений НУШ, анализируются возможности применения БПФ. Обсуждается проблема увеличения шага счета по времени и типичные ошибки. Даются краткие обзоры использования метода операторной экспоненты и метода неотражающих граничных условий.

Обсуждаются возможности метода гиперболизации для НУШ,

Заседание

С. М. Чурилов (Институт солнечно-земной физики СО РАН, Иркутск)
Неустойчивость резко стратифицированных сдвиговых течений без точек перегиба на профиле скорости

В линейном приближении исследуется устойчивость резко стратифицированных (l << L, где l и L = 1 — вертикальные масштабы изменения плотности и скорости) сдвиговых течений, скорость которых V_x = U_z монотонно растет без точек перегиба от нуля на дне (z = 0) до 1 при z → +∞, U'(0) = 1. Показано, что в пределе скачка плотности (l = 0) течения с U'' < 0 имеют на плоскости (волновое число k — параметр Ричардсона J) область неустойчивости универсального вида, ограниченную осью абсцисс (J = 0), дисперсионной кривой J = J(k,c = 1) и соединяющим их отрезком оси ординат (k = 0), где c — фазовая скорость волны. Изучена роль точек нулевой кривизны на профиле скорости (в которых U'' = 0, но знак не меняет) в трансформации такой области неустойчивости в область неустойчивости течения с кусочно-линейным профилем скорости.

Показано, что в непрерывно стратифицированных течениях с 0 < l << 1 появляется счетное множество мод колебаний J = J_m(k,c), m = 0, 1, 2,.... Продольные (не зависящие от y ) волны при каждом m имеют область неустойчивости, простирающуюся от своей верхней границы,
J = J_0^{(+)}(k) = J_0(k,c=1) = O(1) или J = J_m^{(+)}(k) = J_m(k,c=1) = O(m^2/l), m \ge 1 до соответствующей нижней границы,
J = J_0^{(-)}(k) > 0, где J_0^{(-)}(k) = O(l^2), при l < k < 1, или
J = J_m^{(-)}(k) > 0, где J_m^{(-)}(k) = O(m^2l), при l^{3/2} < k < l^{1/2}, m \ge 1.

В силу теоремы Сквайра нижние «полосы устойчивости» (между J_m^{(-)}(k) и осью абсцисс) заполняют неустойчивые косые волны. При значениях параметра J в диапазоне от O(l^2) до O(l) продольные и косые неустойчивые волны успешно конкурируют, и возбуждается широкий спектр трехмерных неустойчивых волн с близкими продольными фазовыми скоростями и сравнимыми инкрементами.

Заседание

Н. А. Кудряшов (МИФИ)
From the Painlevet test to methods for constructing analytical solutions of nonlinear ODEs

Обсуждается применение теста Пенлеве для анализа нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Дается краткий обзор классических работ С. В. Ковалевской решения задачи о движении твердого тела с неподвижной точкой и работ П. Пенлеве по классификации одного класса уравнений второго порядка. На хорошо известном примере уравнения Кортевега — де Фриза в переменных бегущей волны иллюстрируется свойство Пенлеве для нелинейного осциллятора. Особое внимание уделено неинтегрируемым уравнениям в частных производных таким как уравнение Кортевега — де Фриза — Бюргерса и уравнение Курамото — Сивашинского. С использованием переменных бегущей волны иллюстрируется построение аналитических решений этих уравнений. Обсуждаются возможные варианты применения метода простейших уравнений для построения аналитических решений неинтегрируемых дифференциальных уравнений. Иллюстрируется применение метода для построения оптических солитонов обобщенного нелинейного Шредингера произвольного порядка с нелинейностью в виде полинома.

Заседание

А. Б. Борисов, Д. В. Долгих (Институт физики металлов УрО РАН, Екатеринбург)
Integration of the equations of the Heisenberg model (2D) and the chiral SU(2) models by differential geometry methods

В докладе для интегрирования двумерного уравнения Гейзенберга и трехмерной киральной SU(2) модели применяется дифференциально–геометрический метод интегрирования, суть которого состоит в следующем. Вначале совершаем преобразование годографа, т.е. меняем роль зависимых и независимых координат. В отличие от стандартного преобразования годографа, мы не просто вводим производные от прежних координат по новым, а определяем через эти производные новые поля, связанные с компонентами метрического тензора, который появляется при осуществлении преобразования годографа. Поскольку первоначальные независимые координаты были евклидовы, тензор кривизны в терминах введенной метрики должен обращаться в нуль. В конечном счете, получаем самосогласованную систему уравнений для расчета компонент метрического тензора. При этом уравнения, гарантирующие обращение в нуль тензора кривизны, оказываются главными, а система нелинейных уравнений моделей их редукцией. Решения построенных уравнений позволяют записать в виде неявных функций решения исходных моделей. Важно, что дифференциально–геометрический метод интегрирования модели, основанный на вложении нелинейного уравнения в частных производных в определенную дифференциальную связь в евклидовом пространстве, позволяет проанализировать множество разнообразных пространственных структур, изучение которых другими методами крайне затруднительно. Найденные решения в киральной SU(2) модели описывают трехмерные конфигурации, содержащие, в частности, пространственные вихри, источники, нелокализованные текстуры и структуры со степенью отображения равной единице, сходные с топологическими солитонами. В модели Гейзенберга мы находим вихревую полоску (ограниченную вихревую область в плоскости). Многие из полученных решений зависят от произвольных функций.

Заседание

О. В. Капцов
Some solutions of the Euler system of an inviscid incompressible fluid

We consider a system of two-dimensional Euler equations describing the motions of an inviscid incompressible fluid. It reduces to one non-linear equation with partial derivatives of the third order. A group of point transformations allowed by this equation is found. Some invariant solutions and solutions not related to invariance are constructed. The solutions found describe vortices, jet streams, and vortex-like formations.

Заседание

Н. И. Макаренко (ИГиЛ СО РАН, Новосибирск)
Nonlinear stationary internal waves in a weakly stratified fluid

Рассматриваются три круга постановок, связанных с построением и анализом асимптотических решений уравнений Эйлера невязкой неоднородной жидкости.

1. Стационарные решения типа уединенных и периодических волн в непрерывно стратифицированной жидкости и их предельные режимы.
2. Параметрические семейства решений 2,5–слойной модели нелинейных длинных волн и их приложения в океанологии.
3. Стационарные волновые структуры и захваченные уединенные волны в течениях над неровным дном.

Заседание

А. В. Слюняев (Институт прикладной физики РАН, Нижний Новгород)
Морские волны-убийцы: проблема, задачи и решения

Предлагается обзор исследований, связанных с т.н. морскими волнами-убийцами — неожиданно высокими волнами, по некоторым данным появляющимися слишком часто, чем ожидается. Формулируется проблема океанологии в ее сегодняшнем понимании, обозначаются направления исследований и поставленные перед ними задачи, обсуждаются уже полученные результаты.

Заседание

А. В. Шмидт
Построение приближенного решения, описывающего течение в дальнем плоском безымпульсном турбулентном следе

Рассматривается полуэмпирическая модель дальнего плоского безымпульсного турбулентного следа. Построено приближенное решение, согласующееся с численным автомодельным решением, найденным с привлечением теоретико-группового анализа дифференциальных уравнений и метода стрельбы.

Заседание

K. R. Helfrich (Woods Hole Oceanographic Institution, USA), L. A. Ostrovsky (University of Colorado, USA), Yu. A. Stepanyants (University of Southern Queensland, Australia)
Joint Effects of Rotation and Topography on Internal Solitary Waves

We present the results of the recent study of dynamics of nonlinear oceanic solitary waves under the influence of the combined effects of nonlinearity, Earth’s rotation, and depth inhomogeneity. Our consideration is based on the extended model of the Korteweg–de Vries (KdV) equation that in general accounts for the quadratic and cubic nonlinearity (the Gardner equation) with the additional terms incorporating the effects of rotation and slowly varying depth. After a brief historical outline, using the asymptotic (adiabatic) theory, we describe a complex interplay between these factors. As an application, the case of a two-layer fluid with the variable-depth lower layer is considered using the approximate theory, as well as through numerical solutions of the governing equation that includes all the above factors under realistic oceanic conditions. In particular, different scenarios of the soliton propagating toward the “internal beach” (e.g., zero lower-layer depth) are studied in which the terminal damping can be caused by radiation or disappearing quadratic nonlinearity (when the layers’ depths become equal). We also consider interaction of a soliton with a long wave providing the energy “pump” compensating the radiation losses due to rotation so that the soliton can exist infinitely. The limitations of the adiabatic approach due to the radiation and other factors are also demonstrated.

Заседание по материалам кандидатской диссертации

З. В. Макридин (ИГиЛ, Новосибирск)
Ветвление периодических решений и законы сохранения нелинейных уравнений теории волн

В настоящей диссертации рассматриваются два типа задач математической теории нелинейных волн. Первый тип связан с построением семейств асимптотических периодических решений системы слабосвязанных обыкновенных дифференциальных уравнений, которая получается при переходе к бегущей переменной в модельной системе зацепленных уравнений Кортевега — де Фриза. В задачах второго типа исследуются способы построения трехмерных законов сохранения коммутирующих интегрируемых гидродинамических цепочек и их редукций.

Заседание

А. Б. Борисов (Институт физики металлов УрО РАН, Екатеринбург)
O(3)-model: integrability. Stationary and dynamic magnetic structures

Трехмерная O(3) модель для единичного вектора n(⁣r) имеет многочисленные применения в теории поля и физике конденсированных сред. Показано,что эта модель в стационарном случае интегрируема при некоторой дифференциальной связи (определенных ограничениях на градиенты полей Θ(⁣r), Φ(⁣r), параметризующих вектор n(⁣r)). При наличии дифференциальной связи уравнения модели редуцируются к одномерному уравнению sin–Gordon, определяющему зависимость поля Θ(⁣r) от вспомогательного поля 𝑎(⁣r), и систему двух уравнений (∇𝑆)(∇𝑆) = 0, Δ𝑆 = 0 для комплекснозначной функции 𝑆(⁣r) = 𝑎(⁣r) + iΦ(⁣r). Показано, что непосредственное решение этой системы дает все известные ранее точные решения модели: двумерные магнитные инстантоны и трехмерные структуры типа ежей.

Показано, что найденное таким образом точное решение системы для поля 𝑆(⁣r) приводит к точному решению уравнений 𝑂(3)–модели в виде произвольной неявной функции от двух переменных. Обсуждается два простейших решений этих уравнений: новая магнитная структура, которая представляет две прямолинейные пересекающиеся вихревые нити и структуру типа «включения».

Исследована интегрируемость динамических уравнений O(3)-модели в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве-времени Использована дифференциальная подстановка, сводящая эти уравнения к одномерному уравнению синус-Гордон и системе из двух уравнений для комплексной функции S(r,t), которая однозначно определяет вектор n(r,t). Доказано, что решение уравнений для этой функции сводится к решению системы четырех квазилинейных уравнений для вспомогательных полей. Получено их точное решение в виде неявной функции от двух переменных, которая определяет точные решения динамических уравнений O(3)-модели с учетом дифференциальных связей. В качестве примера описаны динамика плоского вихря в пространстве R2, структура типа “ежа” и новой динамической топологической структуры.

Литература

1. А. Б. Борисов. Трехмерные вихри в модели Гейзенберга, ТМФ, 2021, том 208, номер 3, 471–480 (A. B. Borisov. Three-Dimensional Vortices in the Heisenberg Model. Theoretical and Mathematical Physics, 208(3): 1256–1264 (2021)).

2. А. Б. Борисов. Об интегрируемости 𝑂(3)–модели. Уфимский математический журнал. Том 13. № 2 (2021). С. 6-10 (А. B. Borisov, On integrability of O(3)–model, Ufimsk. Mat. Zh., 2021, Volume 13, Issue 2, 6–10).

3. А. Б. Борисов. Динамика трехмерных магнитных структур в модели Гейзенберга. ТМФ, 2022, том 210, номер 1, страницы 115–127 (A. B. Borisov. Dynamics of Three-Dimensional Magnetic Structures in the Heisenberg Model. Theoretical and Mathematical Physics, 210(1): 99–110 (2022)).

Заседание

С. П. Царев (СФУ)
Обобщенная факторизация линейных дифференциальных операторов второго порядка с частными производными и безотражательное распространение волн на мелкой воде

Данный доклад будет посвящен интерпретации недавнего доклада С. М. Чурилова и Ю. А. Степанянца (Безотражательное распространение поверхностных волн на мелкой воде в канале переменной ширины и глубины на фоне неоднородного течения, https://researchseminars.org/talk/mmandim/35/) с точки зрения теории обобщенной факторизации дифференциальных операторов ([1]).

Как показано в работах С. М. Чурилова, Ю. А. Степанянца и др. ([2]), факторизация оператора второго порядка с двумя независимыми переменными, описывающего распространение волн в неоднородной одномерной среде, в произведение операторов первого порядка приводит к появлению большого семейства решений, описывающих с физической точки зрения волны, которые можно считать распространяющимися без отражения от неоднородностей.

Мы расскажем о теории обобщенной факторизации операторов с частными производными второго порядка, ведущей свое начало от работ выдающихся математиков XIX — начала XX века П.-С. Лапласа, Г. Дарбу, Э. Гурса и др. и получившей дальнейшее развитие в конце XX века.

Обобщенная теория факторизации позволяет существенно расширить класс безотражательных решений.

References:
[1] Е. И. Ганжа, С. П. Царев, «Классические методы интегрирования гиперболических систем и уравнений второго порядка», 2007 (КГПУ), http://dx.doi.org/10.13140/2.1.4535.8084 Полный текст доступен по ссылке: https://www.researchgate.net/profile/Sergey-Tsarev/publication/235993531_Klassiceskie_metody_integrirovania_giperboliceskih_sistem_i_uravnenij_vtorogo_poradka/links/0c96051550c72803c2000000/Klassiceskie-metody-integrirovania-giperboliceskih-sistem-i-uravnenij-vtorogo-poradka.pdf
[2] Churilov, Semyon M., and Yury A. Stepanyants. «Reflectionless wave propagation on shallow water with variable bathymetry and current». Journal of Fluid Mechanics 931 (2022).

Заседание

O. V. Kaptsov
Solutions of the Euler equations and stationary structures in an inviscid fluid

The Euler equations describing two-dimensional steady flows of an inviscid fluid are studied. These equations are reduced to one equation for the stream function and then, using the Hirota function, solutions of three nonlinear elliptic equations are found. The solutions found are interpreted as sources in a rotating fluid, jets, chains of sources and sinks, vortex structures. We propose a new simple method for constructing solutions in the form of rational expressions of elliptic functions. It is shown that the flux of fluid across a closed curve is quantized in the case of the elliptic Sin-Gordon equation.

Заседание

Ю. В. Брежнев (ТГУ)
Квантовая «ревизия» теоремы Пифагора

Странность этого утверждения только кажущаяся и оно может быть сформулировано даже более экстравагантно. Мы даем «единственно правильное» понимание, которое стоит за реальным смыслом теоремы Пифагора. Хотя речь идет о классическом математическом утверждении, его переформулировка мотивирована квантовой темой. А именно, проблемой понимания и вывода знаменитого правила квантовой вероятности — правила Борна, — которое записывается через квадрат модуля |a|^2. Если кратко, то «почему квадрат»? Есть прямой ответ на этот вопрос, а появление этих квадратов, модулей и двоек — комплексной и обычной вещественной — оказываются совершенно однотипным.

Ключевыми словами к материалу является задача последовательного логического построения исчисления (calculus) на векторном пространстве. Тогда рассмотрение известных правил параллелограмма, неравенства треугольника, понятия углов, аксиом скалярного произведения, нормы, топологий и т.д. достаточно заменить на задачу построения количественных величин на векторах. Отсюда будет следовать сначала собственно Пифагорово утверждение и только потом (!) — вышеуказанные объекты. Теорема, при этом, перестает быть теоремой, превращаясь, грубо говоря, в некоторое естественное минималистическое определение; подробности последуют. Сам квадрат в «теореме» появляется как единственно возможное следствие. Перечисленные выше элементы школьной геометрии становятся, в свою очередь, производными от Пифагорова квадрата, с последующей ревизией первичности понятия длины. С квантовыми (комплексными) аналогами — ситуация точно такая же. Более того, именно количественно-статистическая идеология и природа квантового правила Борна дает подсказку к «новому взгляду на» и наиболее убедительные «объяснения к» этой древней греческой теореме.

Заседание

С. М. Чурилов (Институт солнечно-земной физики СО РАН, Иркутск), Ю.А Степанянц (Университет Южного Квинсленда, Тувумба, Австралия)
Безотражательное распространение поверхностных волн на мелкой воде в канале переменной ширины и глубины на фоне неоднородного течения

В приближении мелкой воды рассмотрена линейная задача о распространении поверхностных волн на фоне неоднородного течения идеальной жидкости в канале с изменяющимися вдоль потока шириной W(x) и глубиной H(x) [1,2]. Найдены три вида соотношений, связывающих скорость течения U(x) и скорость распространения волн c(x) = sqrt(gH(x)), таких, что при выполнении любого из них волны произвольной формы распространяются без отражения как по течению, так и против него. В соответствии с этим выделены три класса безотражательных течений и исследованы их свойства. В течениях класса А скорости течения и волн связаны простым соотношением c(x)U(x) = П = const, обеспечивающим распространение волн без отражения на любые расстояния, т.е. вдоль всей оси x. В течениях классов В и С скорости связаны дифференциальным уравнением первого порядка (своим в каждом классе), которое имеет особые точки. Поэтому здесь в общем случае регулярные решения существуют лишь на ограниченных интервалах изменения x (луче или конечном интервале). Для каждого класса найдены условия, при которых есть регулярные решения на всей оси x. Кроме того, показано, что можно конструировать и «составные» безотражательные течения класса В. Общий анализ проблемы проиллюстрирован решениями для конкретных соотношений между глубиной и скоростью течения.

Публикации
1. Churilov S. M., Stepanyants Yu. A. Reflectionless wave propagation on shallow water with variable bathymetry and current. J. Fluid Mech. 931, A 15, 2022; arXiv:2108.12549v2 [physics.flu-dyn], 2021.
2. Churilov S. M., Stepanyants Yu. A. Reflectionless wave propagation on shallow water with variable bathymetry and current. II. arXiv: 2201.00307v1 [physics.flu-dyn], 2022.

Заседание

Ю. А. Степанянц (Университет Южного Квинсленда, Тувумба, Австралия)
Формирование уединенных волн огибающей из локализованных импульсов в рамках уравнения Островского

Рассматривается формирование солитонов огибающей из солитонов Кортевега–де Вриза (КдВ) в процессе долговременной эволюции в рамках уравнения Островского. Это уравнение было выведено Л. А. Островским в 1978 г. для описания слабо нелинейных океанских волн, находящихся под влиянием вращения Земли. Впоследствии выяснилось, что это уравнение достаточно универсально; в настоящее время оно широко используется для описания нелинейных волн в различных средах. Это уравнение, по-видимому, неинтегрируемо и даже не имеет стационарных решений в виде уединенных волн применительно к средам с отрицательной мелкомасштабной дисперсией. Как было показано в работе Гримшоу и Хелфрика (Grimshaw, Helfrich, 2008), длительная эволюция начальных импульсов в виде солитона КдВ малой амплитуды приводит к возникновению солитонов огибающей, которые могут быть описаны нелинейным уравнением Шредингера (НУШ). Однако обобщенное нелинейное уравнение Шредингера, полученное в работе Гримшоу и Хелфрика, приводит к решениям, противоречащим результатам численного моделирования. Позднее в нашей работе с Гримшоу (Гримшоу и Степанянц, 2020), эта проблема была заново исследована и было показано, что волновой пакет, асимптотически возникающий после долговременной эволюции солитона КдВ, может быть описан обычным уравнением НУШ. Полученное решение для солитона огибающей хорошо согласуется с результатами численного моделирования.

Заседание

К. П. Дружков (МГУ)
О вариационных принципах для уравнений пограничного слоя

В докладе будут рассмотрены стационарные уравнения пограничного слоя в эйлеровых переменных (при постоянном давлении поступательно движущегося внешнего потока). Для этой системы уравнений будет дано полное решение обратной задачи вариационного исчисления: будет показано, что не существует ни одного функционала действие, такого что:
1) среди его стационарных точек содержатся все решения данной системы (и, быть может, что-нибудь ещё),
2) определяемое им соответствие из теоремы Нётер нетривиально.

Заседание

О. В. Капцов
Решения двумерных стационарных уравнений Эйлера

Заседание

S. V. Meleshko (Suranaree University of Technology, Nakhon Ratchasima, Thailand)
A Method for Finding Reciprocal Transformations

Equivalence transformations play one of the important roles in continuum mechanics. These transformations reduce the original equations to simpler forms. One of the classes of nonlocal equivalence transformations is the class of reciprocal transformations. Despite the long history of applications of such transformations in continuum mechanics, there is no method of obtaining them. Recently such a method was proposed. The method uses group analysis approach and it consists of similar steps as for finding equivalence group of transformations. The new method provides a systematic tool for finding classes of reciprocal transformations (reciprocal equivalence group of transformations). Similar to the classical group analysis this approach can be also applied for finding all discrete reciprocal transformations (not only composing a group). For an illustration the method is demonstrated by several models applied in hydrodynamics. The author is very thankful to Professor Colin Rogers for attracting my attention to reciprocal transformations.

Заседание

Б. И. Сулейманов
Интегрируемое уравнение Абеля второго рода, возникающее при описании асимптотик симметрийного решения уравнения Кортевега-де Вриза

Представлено общее решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с рациональной правой частью, возникающего при построении асимптотик при больших значениях времени совместных решений уравнения Кортевега-де Вриза и стационарной части его высшей неавтономной симметрии, определяемой линейной комбинацией первой высшей автономной симметрии уравнения Кортевега-де Вриза и его классической симметрии Галилея. По теореме о неявной функции данное общее решение локально находится из первого интеграла, явно выписанного в терминах гипергеометрических функций. Частный случай этого общего решения определяет автомодельные решения уравнений Уизема, найденные ранее Г. В. Потеминым в 1988 г. (В известных работах А. В. Гуревича и Л. П. Питаевского начала 70-х годов было установлено, что данные решения уравнений Уизема в главном порядке описывают возникновение незатухающих осциллирующих волн в широком ряде задач с малой дисперсией.) Результат статьи вновь подтверждает эмпирическое правило: из интегрируемых уравнений в результате различных предельных переходов могут получаться лишь в том или ином смысле интегрируемые уравнения. Выдвигается общая гипотеза: интегрируемые обыкновенные дифференциальные уравнения, подобные рассматриваемому в статье, должны возникать и при описании асимптотик при больших временах других симметрийных решений эволюционных уравнений, допускающих применение метода обратной задачи.

Заседание

A. V. Schmidt
Modeling of the far region of a swirling turbulent wake using the Rodi model

The work is devoted to the construction of a self-similar solution for the far region of a swirling turbulent wake. The algebraic Rodi model is considered, which is a simplification of differential equations for the transfer of components of the Reynolds stress tensor. A group-theoretic analysis of the model is carried out. The reduced system was solved numerically using a modified shooting method. A detailed comparison of the constructed self-similar solution with results obtained by G. G. Chernykh and A. G. Demenkov by direct numerical integration of the model equations is performed.

Заседание

M. I. Tribelsky (Moscow State University)
Fall of Quantum Particle to the Center: Exact solution

A fall of a particle to the center of a singular potential is one of a few fundamental problems of quantum mechanics. Nonetheless, its solution is not complete yet. The known results just indicate that if the singularity of the potential is strong enough, the spectrum of the Schrodinger equation is not bounded from below. However, the wave functions of the problem do not admit the limiting transition to the ground state. Therefore, the unboundedness of the spectrum is only a necessary condition. To prove that a quantum particle indeed can fall to the center, a wave function describing the fall should be obtained explicitly. This is done in the present paper. Specifically, an exact solution of the time-dependent Schrodinger equation corresponding to the fall is obtained and analyzed. A law for the collapse of the region of the wave function localization to a single point is obtained explicitly. It is shown that the known necessary conditions for the particle to fall simultaneously are sufficient.

Заседание

М. В. Павлов (ФИАН Москва)
Блок-диагональные системы гидродинамического типа, интегрируемые методом обобщённого годографа Царёва

Геннадием Элем в 2003 году было выведено нелокальное кинетическое уравнение, описывающее солитонный газ произвольной плотности. В пределе разреженного газа, это уравнение переходит в кинетическое уравнение, полученное В. Е. Захаровым в 1971 году. Для изучения свойств нелокального кинетического уравнения Эля был использован дельта-функциональный анзац Дирака, который привёл к диагональной полугамильтоновой системе гидродинамического типа (Г. А. Эль, А. М. Камчатнов, М. В. Павлов, С. А. Зыков, 2008). Было не только найдено общее решение, но и выделен частный класс — глобальных решений, связанных с гиперэллиптическими алгебраическими кривыми.

Позднее этот же анзац был обобщён на не-изоспектральный случай (Г. А. Эль, В. Б. Таранов, М. В. Павлов, 2012), где была впервые в научной литературе получена недиагонализуемая система гидродинамического типа, приведённая к блочно-диагональной структуре (жордановы блоки 2х2). Там же была сформулирована гипотеза, что эта система уравнений также интегрируема методом обобщённого годографа Царёва.

Совсем недавно (Е. В. Ферапонтов, М. В. Павлов, 2021) удалось построить общую теорию таких (жордановы блоки 2х2) блок-диагональных систем гидродинамического типа.

В качестве примера была детально рассмотрена система из предыдущей работы. Было доказано прямым вычислением, что эта система уравнений интегрируема методом Царёва, и, более того, для неё было найдено общее решение.

Заседание

The Kadomstev—Petviashvili equation is one of the fundamental equations in the theory of integrable systems. The KP equation comes in two physically distinct forms: KP-I and KP-II. The KP-I equation has a large family of rational solutions known as lumps. A single lump is a spatially localized soliton, and lumps can scatter on one another or form bound states. The KP-II equation does not have any spatially localized solutions, but has a rich family of line soliton solutions.

I will discuss two new families of solutions of the KP-I equation, obtained using the Grammian form of the tau-function. The first is the family of lump chain solutions. A single lump chain consists of a linear arrangement of lumps, similar to a line soliton of KP-II. More generally, lump chains can form evolving polygonal arrangements whose structure closely resembles that of the line soliton solutions of KP-II. I will also show how lump chains and line solitons may absorb, emit, and reabsorb individual lumps.

Заседание

Н. Н. Осипов (Красноярский математический центр)
Снова об упрощении вложенных вещественных радикалов

Проблема упрощения вложенных радикалов над произвольными числовыми полями изучалась многими авторами. Случай вещественных радикалов над вещественными полями несколько проще (по крайней мере, теоретически). В частности, известен полиномиальный алгоритм упрощения дважды вложенных вещественных радикалов, который, однако, не гарантирует полного упрощения, если уровень вложенности превышает два. В докладе предполагается дать развернутую презентацию теории, которая предоставляет алгоритм упрощения трижды вложенных радикалов над полем вещественных чисел. Также будут даны некоторые новые примеры трижды (и более) вложенных вещественных радикалов, которые нельзя упростить.

Заседание

Sergey Tsarev (Siberian Federal University)
Integration of algebraic functions, polynomial approximation, nonclassical boundary problems and Poncelet-type theorems

In this review talk we expose remarkably tight relations between the four topics mentioned in the title. Starting from the paper by N. H. Abel published in 1826 and subsequent results of Chebyshev and Zolotarev we finish at the recent results by Burskii, Zhedanov, Malyshev (et al.) devoted to algorithmic decidability of some identities for the values of the Weierstrass P-function, unexpected elementary geometric applications and many, many more hidden equivalences in seemingly unrelated areas of analysis, modern computer algebra and geometry.

This talk will be given in Russian, the English version was presented on 16–09–2021 at Beijing-Novosibirsk seminar on geometry and mathematical physics (http://english.math.pku.edu.cn/conferences/244.html). The video and slides of that talk can be found at https://cloud.mail.ru/public/S4Pp/wJ5iFcggM

Заседание

О. В. Капцов
Symmetries and solutions of the three-dimensional Kadomtsev — Petviashvili equation

A symmetry group of the three-dimensional Kadomtsev — Petviashvili equation is calculated. An example of an invariant solution is given. Exact solutions for the equation under study in the form of double waves are revealed. The resulting solutions are expressed in terms of elementary functions and describe an interaction between a pair of solitons. Smooth bounded rational solutions are also constructed.

Заседание

Определение времени жизни свободного нейтрона пучковым методом и «bottled» методом дают ощутимо разные значения [1], [2]. И эту разницу пока не удается объяснить ни недостаточной точностью методов, ни релятивистской поправкой. В пучковом методе нейтроны движутся со скоростью порядка 10000 км/сек, а в «bottled» методе значительно медленнее.
С другой стороны можно построить преобразования координат инерциальных систем отсчета отказавшись от непосредственного сравнения подвижных и неподвижных объектов и от предположения о конечности скорости света [3]. Эти преобразования приводят к наличию предельной скорости. И при определенной договоренности о выборе базисов совпадают с преобразованиями Лоренца (если принять эту предельную скорость за скорость света). При этом поправка на замедление времени не обязана совпадать с общепринятой в специальной теории относительности.

1. A. T. Yue, M. S. Dewey, D. M. Gilliam, G. L. Greene, A. B. Laptev, J. S. Nico, W. M. Snow, and F. E. Wietfeldt Improved Determination of the Neutron Lifetime // Phys. Rev. Lett. 2013. V. 111. P. 222501. arXiv:1309.2623v2 [nucl-ex] 27 Nov 2013.
2. Серебров А. П. Разногласие между методом хранения ультрахолодных нейтронов и пучковым методом при измерении времени жизни нейтрона, УФН, т. 189, № 6, с. 635–641.
3. Talyshev A. A. On the Geometric Approach to Transformations of the Coordinates of Inertial Frames of Reference, 'Nonlinear Dynamics, Chaos, and Complexity', Higher Education Press, Springer, 2021, pp. 113–124.

Заседание

Е. Н. Пелиновский (Институт прикладной физики РАН, Нижний Новгород)
Бегущие волны в сильно неоднородных средах

Под распространяющейся волной в линейной теории обычно понимает функцию f(x – ct) с произвольной зависимостью от других пространственных координат (здесь t – время, и x — координата). Их нахождение в случае одной пространственной координаты сводится к решению в простейшем случае системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Более сложно найти бегущие волны в волноводах со сложной поперечной структурой, и, например, нахождение бегущих волн в жидкости со свободной поверхностью стало предметом специального раздела нелинейной математики. Если параметры среды меняются медленно во времени или плавно в пространстве, то волна локально описывается теми же выражениями, что и в однородной среде, а изменение амплитуды и фазы волны находится с помощью лучевых методов, или более строго с помощью асимптотической процедуры. Уже давно было отмечено, что в некоторых случаях асимптотические решения являются точными и не требуют плавности изменения параметров среды. При этом возникают вопросы, являются ли такие решения бегущими волнами, если среда не является плавно неоднородной. В настоящем докладе эта проблема обсуждается применительно к волнам на воде. Показывается, что существуют несколько профилей переменной глубины, когда асимптотические решения для линейных волн становятся точными решениями. Такие решения всегда имеют сингулярные точки. Наряду с монохроматическими волнами, получены решения в виде бегущих импульсов, и исследована их форма. В частности, для одного класса донной геометрии поверхностная волна должна быть знакопеременной, при этом волна скорости частиц меняет свою форму по мере распространения. Получены соответствующие решения начальной задачи, демонстрирующие особенности формирования бегущих волн, движущихся в противоположных направлениях, при этом в общем случае формируется зона переменного течения между двумя разбегающими волнами. Эти решения применяются для изучения трансформации и отражения волны от излома глубины. Несмотря на «точечность» отражения, форма отраженной и преломленной волны меняется кардинально, в частности для любой формы падающей волны, трансформированная волна является знакопеременной. Приводятся примеры бегущих волн в атмосферной акустике, солнечной атмосфере и физики внутренних волн в стратифицированной жидкости. Существенно меньше результатов получено в нелинейной задаче.

Заседание

С. В. Хабиров
Стационарная плоская вихревая подмодель идеального газа

Подмодель идеального газа, инвариантная относительно переносов по времени и по одному пространственному направлению в случае вихревых движений имеет 4 интеграла. Для функции тока и удельного объема получена система нелинейных дифференциальных уравнений 3-го порядка с одним произвольным элементом, включающим в себя уравнение состояния и произвольные функции интегралов. Найдены преобразования эквивалентности по произвольному элементу. Решена задача групповой классификации. Получена оптимальная система неподобных подалгебр для алгебр из групповой классификации. Рассмотрены примеры инвариантных решений, описывающие вихревые движения газа с переменной энтропией, в том числе точечный источник или сток. На двумерных подалгебрах получены аналоги простых волн.

Заседание

One of the well-known classes of solutions of many models of continuum mechanics is a set of solutions called simple wave-type solutions. From the method of differential constraints point of view, this class of solutions is described by homogeneous differential constraints. Application of the method of differential constraints allows one to generalize this class. The main feature of this class of solutions is that finding a solution of the original system of equations is reduced to solving a system of ordinary differential equations. In particular, the presentation will show that finding a solution of any Cauchy problem of a homogeneous system of equations written in Riemann invariants, admitting a differential constraint, is reduced to solving the Cauchy problem of system of ordinary differential equations. This is similar to the method of characteristics for a partial differential equation with a single dependent variable. Illustrations of solutions for some initial data are given. Several models will be demonstrated in the presentation.

Заседание

О. В. Капцов
Общие решения некоторых линейных волновых уравнений с переменными коэффициентами

В работе найдены общие решения для некоторых классов линейных волновых уравнений с переменными коэффициентами. Такие уравнения описывают колебания стержней, акустические волны, а также к ним сводятся некоторые модели газовой динамики. Для построения решений используются преобразования типа Леви, которые являются дифференциальными подстановками первого порядка и их итерациями. Приводятся конкретные примеры общих решений, зависящих от производных произвольных функций.

Заседание

Ю. В. Шанько
Решение задачи Л. В. Овсянникова о двумерных изотермических движениях политропного газа

В докладе исследуется переопределенная система уравнений в частных производных, являющаяся двумерным аналогом общей трехмерной системы, задача исследования на совместность которой была поставлена в статье Л. В. Овсянникова «О «простых» решениях уравнений динамики политропного газа». Рассматриваемая система описывает так называемые тепловые (с постоянной плотностью) движения политропного газа. К этой же системе сводятся изотермические (с постоянной скоростью звука) движения газа при показателе адиабаты не равном 1. В гидродинамике данная система задает двумерные движения жидкости с дополнительным условием постоянства давления в частице. Это условие позволяет интерпретировать каждое ее решение, как движение жидкости со свободной границей. Система приведена к пассивному виду и полностью проинтегрирована.

Заседание

Yu. Stepanyants (School of Sciences, University of Southern Queensland, Toowoomba, Australia)
The asymptotic approach to the description of two-dimensional soliton patterns in the oceans

The asymptotic approach is suggested for the description of interacting surface and internal oceanic solitary waves. This approach allows one to describe a stationary moving wave patterns consisting of two plane solitary waves moving at an angle to each other. The results obtained within the approximate asymptotic theory is validated by comparison with the exact two-soliton solution of the Kadomtsev–Petviashvili equation. The suggested approach is equally applicable to a wide class of non-integrable equations too. As an example, the asymptotic theory is applied to the description of wave patterns in the 2D Benjamin–Ono equation describing internal waves in the infinitely deep ocean containing a relatively thin one of the layers.

Заседание

A. V. Aksenov, K. P. Druzhkov
Symmetries, conservation laws, and exact solutions to a one-dimensional system of shallow water equations over an uneven bottom

The symmetries of a one-dimensional system of shallow water equations over an uneven bottom in Euler’s variables are classified. Based on the results of the group classification obtained, it is concluded that it is possible to reduce the one-dimensional system of shallow water equations to a linear system of equations using point transformations only in the cases of horizontal and inclined bottom profiles. We also classify the contact symmetries of the one-dimensional shallow water equation over an uneven bottom in Lagrangian’s variables.

The hydrodynamic conservation laws of a one-dimensional system of shallow water equations in Eulerian’s variables are classified. A new basic conservation law is obtained. The first-order conservation laws of the one-dimensional shallow water equation in Lagrangian’s variables are classified.

A three-parameter family of exact solutions of a one-dimensional system of shallow water equations over an inclined bottom is obtained and investigated, describing the ”step’’ wave's arrival on the shore and its reflection from it. The nonlinear the overwash effect and the effect of the amplification of the incoming wave when it is reflected from the shore are described.

Заседание

A. N. Rogalev
Regularization of numerical estimation of the sets of solutions of ODEs in stability problems on a finite time interval

The sets of ODE solutions, with initial data belonging to the initial data regions, have complex boundaries (boundary surfaces in the dimension space). For the boundaries of the sets of solutions (surfaces in the space of solutions), it is impossible to choose formulas of functions with the help of which it was possible to describe the boundaries. As a result, there are two possibilities — either to describe the values of the boundary surfaces in a set of discrete points (on a grid), or to calculate their estimates of the maximum values in the directions of the coordinate axes, or the maximum in any chosen direction. The paper investigates and further uses the injectivity property of solutions to ODEs. For linear systems of ODEs the shift operator is linear and monomorphic (i.e., injective). These properties are also possessed by the resolving operator, which associates with the initial value the solution of the corresponding Cauchy problem (the entire solution, not its value at a point) as an element of space.

For nonlinear ODE systems that have unique solutions in a certain region of initial data, the boundaries of the regions of initial data pass into the boundaries of the regions of solutions at each specific moment in time. The class of such nonlinear ODE systems consists of systems whose solutions are uniformly bounded (Lagrange stable). Preliminarily, it is useful to construct a regularization of estimates for the boundaries of the solution sets, passing to the linear approximation of the original system. Regularization is understood as finding information about sets of exact solutions. This regularization establishes the values of compression / expansion in the given directions, offset along the time axis, and rotation through some angle. Examples of stability studies on a finite time interval are given.

Заседание

A. Shlapunov (Siberian Federal University), N. Tarkhanov (Universität Potsdam)
Existence theorems for regular solutions to the Cauchy problem for the Navier-Stokes equations in R^3

We consider the Cauchy problem for the Navier-Stokes equations over R^3 × [0, T] with a positive time T over specially constructed scale offunction spaces of Bochner-Sobolev type. We prove that the problem induces anopen both injective and surjective mapping of each space of the scale. In particular,intersection of these classes gives a uniqueness and existence theorem for smoothsolutions to the Navier-Stokes equations for smooth data with a prescribed asymp-totic behaviour at the infinity with respect to the time and the space variables.Actually, we propose the following modified scheme of the proof of the existencetheorem, based on apriori estimates and operator approach in Banach spaces:

1. We prove that the Navier-Stokes equations induce continuous injective OPEN mapping between the chosen Banach spaces.

2. Next, the standard topological arguments immediately imply that a nonemptyopen connected set in a topological vector space coincides with the space itself ifand only if the set is closed. This reduces the proof of the existence theorem to an L^s([0, T], L^r(R^3)) a priori estimate for the INVERSE IMAGE OF PRECOMPACTSETS in the target Banach space wheres,rare Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin num-bers satisfying 2/s + 3/r= 1 and r > 3. In this way we avoid proving a GLOBAL L^s([0, T], L^r(R^3)) a priori estimate.

3. To prove the weak L^s([0, T], L^r(R^3)) a priori estimate with r > 3 we calculateprecisely the excess between the left hand side and the right hand side of thecorresponding energy inequality, that equals to 2r when expressed in terms of theLebesgue integrability index r. Then we operate with absolutely convergent seriesinvolving Lebesgue norms that gives the possibility to group together summandsin a suitable way, using the energy type inequalities, interpolation inequalities andmatching the asymptotic behaviour in order to exclude the unbounded sequencesin the inverse image of a precompact set.

An early version of the paper is uploaded on arxiv.org:https://arxiv.org/abs/2009.10530

A similar approach can be used for investigation of the Navier-Stokes equationsin the periodic setting:https://arxiv.org/abs/2007.14911

Заседание

E. I. Kaptsov, V. A. Dorodnitsyn, S. V. Meleshko
Invariant finite-difference schemes for equations of continuous medium possessing finite-difference conservation laws

Methods of construction and analysis of finite-difference mathematical models based on symmetry are discussed.
The group analysis methods allow one to construct invariant finite-difference schemes preserving the basic geometric and qualitative physical properties of the original continuous models.
The authors propose a number of methods for constructing invariant schemes possessing conservation laws. Examples of invariant schemes for partial differential equations (PDEs) and ordinary differential equations (ODEs) are provided.
Among the family of invariant schemes for ODEs, exact schemes are found, that is, schemes whose solutions coincide with the corresponding set of ODEs' solutions at the nodes of the finite-difference mesh of an arbitrary density.
Invariant conservative schemes are constructed for various PDEs (wave equations, one-dimensional shallow water equations and Green-Naghdi equations). The constructed schemes possess difference analogues of the local conservation laws of the original differential models.

References

1. Dorodnitsyn V. A.. Applications of Lie Groups to Difference Equations. CRC Press, Boca Raton, 2011.

2. Dorodnitsyn V. A., Kaptsov E. I., Shallow water equations in Lagrangian coordinates: Symmetries, conservation laws and its preservation in difference models, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 89 (2020) P. 105343

3. Cheviakov A. F., Dorodnitsyn V. A., Kaptsov E. I., Invariant conservation law-preserving discretizations of linear and nonlinear wave equations, Journal of Mathematical Physics 61 (2020) P. 081504.

4. Dorodnitsyn V. A., Kaptsov E. I., Meleshko S. V., Symmetries, conservation laws, invariant solutions and difference schemes of the one-dimensional Green-Naghdi equations, Journal of Nonlinear Mathematical Physics (2020), accepted.

5. Dorodnitsyn V. A., Kaptsov, E. I., Discretization of second-order ordinary differential equations with symmetries, 2013, Computational Mathematics and Mathematical Physics. Vol. 53, No. 8, pp. 1153–1178.

Заседание

А. Е. Миронов (ИМ СО РАН, Новосибирск)
Коммутирующие разностные операторы

В докладе будет рассказано о задаче построения коммутативных колец разностных операторов. С помощью одноточечных коммутирующих разностных операторов ранга один будет построена дискретизация оператора Ламе.

Заседание

А. Е. Миронов (ИМ СО РАН, Новосибирск)
Интегрируемые магнитные геодезические потоки на двумерном торе и системы гидродинамического типа

В докладе будет показано, что на двумерном торе существуют метрики сколь угодно близкие к метрикам Лиувилля и слабые магнитные поля
с интегрируемыми магнитными геодезическими потоками на одном уровне энергии. Доклад основан на совместной работе с Сергеем Агаповым (Новосибирск) и Михаилом Бялым (Тель-Авив).

Заседание

In this paper, we consider the problem of formal iteration. We construct an area preserving mapping which does not have any square root. This leads to a counterexample to Moser’s existence theorem for an interpolation problem. We give examples of formal transformation groups such that the iteration problem has a solution for every element of the groups.

Заседание

O. V. Kaptsov, D. O. Kaptsov
Exact Solution of Boussinesq equations for propagation of nonlinear waves

In this paper, we consider two Boussinesq models that describe propagation of small-amplitude long water waves. Exact solutions of the classical Boussinesq equation that represent the interaction of wave packets and waves on solitons are found. We use the Hirota representation and computer algebra methods. Moreover, we find various solutions for one of the variants of the Boussinesq system. In particular, these solutions can be interpreted as the fusion and decay of solitary waves, as well as the interaction of more complex structures.

Заседание

A. Shlapunov (Siberian Federal University), N. Tarkhanov (Universität Potsdam)
Existence Theorems for Regular Spatially Periodic Solutions to the Navier–Stokes Equations in R^3

We consider the initial problem for the Navier–Stokes equations over R^3 × [0,T] with a positive time T in the spatially periodic setting. Identifying periodic vector-valued functions on R^3 with functions on the 3-dimensional torus T^3, we prove that the problem induces an open both injective and surjective mapping of specially constructed scale of function spaces of Bochner–Sobolev type parametrised with the smoothness index s ∈ N. The intersection of these classes with respect s gives a uniqueness and existence theorem for smooth solutions to the Navier–Stokes equations for each finite T > 0. Then additional intersection with respect to T ∈ (0, +∞) leads to a uniqueness and existence theorem for smooth solutions and data having prescribed asymptotic behaviour at the infinity with respect to the time variable. Actually, we propose the following modified scheme of the proof of the existence theorem, based on apriori estimates and operator approach in Banach spaces:
1. We prove that the Navier–Stokes equations induce continuous injective OPEN mapping between the chosen Banach spaces.
2. Next, the standard topological arguments immediately imply that a nonempty open connected set in a topological vector space coincides with the space itself if and only if the set is closed. This reduces the proof of the existence theorem to an L^s ([0,T], L^r(T^3)) a priori estimate for the INVERSE IMAGE OF PRECOMPACT SETS in the target Banach space where s, r are Ladyzhenskaya–Prodi–Serrin numbers satisfying 2/s + 3/r = 1 and r > 3. In this way we avoid proving a GLOBAL L^s ([0,T], L^r(T^3)) a priori estimate.
3. To prove the weak L^s ([0,T], L^r(T^3)) a priori estimate with r > 3 we calculate precisely the excess between the left hand side and the right hand side of the corresponding energy inequality, that equals to 2r when expressed in terms of the Lebesgue integrability index r. Then we operate with absolutely convergent series involving Lebesgue norms that gives the possibility to group together summands in a suitable way, using the energy type inequalities, interpolation inequalities and matching the asymptotic behaviour in order to exclude the unbounded sequences in the inverse image of a precompact set.

Заседание

Обсуждение отзыва на кандидатскую диссертацию Гордеева Георгия Андреевича «Моделирование теплофизических процессов в порошках металлов при селективном лазерном спекании»

Заседание

Обсуждение отзыва на диссертацию Бельмецева Николая Федоровича «Построение и исследование подмоделей асимметричной и трансверсально-изотропной моделей упругих сред»

Заседание

Bogdan G. Dimitrov (Institute of Nuclear Research and Nuclear Energetics. Institute for Advanced Physical Studies, New Bulgarian University. Sofia, Bulgaria)
Intersecting Null Cones and GPS, GLONASS Intersatellite Communications in the Gravitational Field of Near-Earth Space with Account of General Relativity Theory

In this report a theoretical approach will be presented for intersatellite communications (ISC) between two satellites (belonging to satellite configurations GPS or GLONASS), moving on (one-plane) elliptical orbits. The new approach is based on the introduction of two null cones with origins at the emitting-signal and receiving-signal satellites. The two null cones (intersected also with a hyperplane) account for the variable distance between the satellites. This intersection of the two null cones gives the space-time interval in GRT. Applying some theorems from higher algebra, it was proved that this space-time distance can become zero, consequently it can be also negative and positive. But in order to represent the geodesic distance travelled by the signal, the space-time interval has to be «compatible» with the Euclidean distance. So this «compatibility condition», conditionally called «condition for ISC», is the most important consequence of the theory. The other important consequence is that the geodesic distance turns out to be the space-time interval, but with account also of the «condition for ISC». The geodesic distance turns out to be greater than the Euclidean distance — a result, entirely based on the «two null cones approach» and moreover, without any use of the Shapiro delay formulae. Application of the same higher algebra theorems shows that the geodesic distance cannot have any zeroes, in accord with being greater than the Euclidean distance. The theory also puts a restriction on the eccentric anomaly angle E=45.00251 [deg], which is surprisingly close to the angle of disposition of the satellites in the GLONASS satellite constellation (the Russian analogue of the American GPS) — 8 satellites within one and the same plane equally spaced at 45 deg. Under some specific restrictions and for the case of plane motion of the satellites, an analytical formula was derived for the propagation time of the signal, emitted by a moving along an elliptical orbit satellite. The formula can be represented as a sum of elliptic integrals of the first, second and the third kind.

1. Bogdan G. Dimitrov, Two null gravitational cones in the theory of GPS-intersatellite communications between two moving satellites. I. Physical and mathematical theory of the space-time interval and the geodesic distance on intersecting null cones, (third) extended version of https://arxiv.org/abs/1712.01101v3 [gr-qc], 162 pages.

2. Bogdan G. Dimitrov, New Mathematical Models of GPS Intersatellite Communications in the Gravitational Field of the Near-Earth Space, AIP Confer. Proc. 2075, 040007 (2019); https://doi.org/10.1063/1.5091167, 9 pages.

Заседание

Bogdan G. Dimitrov (Institute of Nuclear Research and Nuclear Energetics. Institute for Advanced Physical Studies, New Bulgarian University. Sofia, Bulgaria)
Applied General Theory of Relativity: Physical Principles of the Global Positioning System (GPS)

A general knowledge about the fundamental physical principles of the Global Positioning System (GPS) will be presented. One of these principles is related to the fundamental fact (the Michelson-Morley experiment) about the independence of the velocity of light from the velocity of the source of light and the non-existence of “ether”, which was the starting point for the creation of the Special Theory of Relativity by Albert Einstein. Particular attention will be paid to some (elementary) model examples, resulting in important relations, concerning the frequency change of the signal between the stations on the Earth’s surface and the rotating satellites around the Earth. This frequency change depends on the rotation of the Earth, as well as on the variation of the gravitational potential. The amazing relation of these dependencies to the approach of Special Theory of Relativity will be demonstrated, also the further extension of the approach in the framework of the General Theory of Relativity, which is being applied in the theory of the Global Positioning System since 2003.
The Geocentric Relativistic Reference System will be briefly reviewed, also the determination of the atomic clock times with respect to an attached to the Earth rotating coordinate system, which is important for taking into account the General Relativity Theory effects during the satellite motion in the near-Earth space.

REFERENCES
1. Neil Ashby, Relativistic effects in the Global Positioning System, in Gravitation and Relativity at the Turn of the Millenium, Proceedings of the 15th International Conference on General Relativity and Gravitation, edited by N. Dadhich and J. Narlikar (International University Centre for Astronomy and Astrophysics, 1998).
2. N. Ashby, Relativity in the Global Positioning System, Living Reviews in Relativity 6, 1-42 (2003), https://link.springer.com/content/pdf/10.12942%2Flrr-2003-1.pdf.
3. N. Ashby, and R. A. Nelson, in Relativity in Fundamental Astronomy: Dynamics, Reference Frames, and Data Analysis, Proceedings of the IAU Symposium 261 2009, edited by S. A. Klioner, P. K. Seidelmann, and M. H. Soffel (Cambridge University Press, Cambridge, 2010).
4. J. — F. Pascual Sanchez, Introducing Relativity in Global Navigation Satellite System, Ann. Phys. (Leipzig) 16, 258–273 (2007).
5. Michael H. Soffel, and Wen-Biao Han, Applied General Relativity. Theory and Applications in Astronomy, Celestial Mechanics and Metrology, Springer Nature, Switzerland AG 2019.
6. Michael H. Soffel, and R. Langhans, Space-Time Reference Systems (Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2013 ).
7. Sergei M. Kopeikin, Michael Efroimsky, and George Kaplan, Relativistic Celestial Mechanics of the Solar System (Wiley-VCH, New York, 2011).
8. L. Duchayne, Transfert de temps de haute performance: le Lien Micro-Onde de la mission ACES. Physique mathematique [math-ph]. PhD Thesis, Observatoire de Paris, 2008. Francais, HAL Id: tel-00349882, https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00349882/document.
9. M. Gulklett, Relativistic effects in GPS and LEO, October 8 2003, PhD Thesis, University of Copenhagen, Denmark, Department of Geophysics, The Niels Bohr Institute for Physics, Astronomy and Geophysics, available at https://www.yumpu.com/en/document/view/4706552/relativistic-e_ects-in-gps-and-leo-niels-bohr-institutet.
10. B. Hofmann-Wellenhof, and H. Moritz, Physical Geodesy (Springer-Verlag, Wien-New York, 2005).
11. Slava G. Turyshev, Viktor T. Toth, and Mikhail V. Sazhin, General relativistic observables of the GRAIL mission, Phys. Rev. D87, 024020 (2013), arXiv:1212.0232v4 [gr-qc].
12. Slava G. Turyshev, Mikhail V. Sazhin, and Viktor T. Toth, General relativistic laser interferometric observables of the GRACE-Follow-On mission, Phys. Rev. D89, 105029 (2014), arXiv: 1402.7111v1 [qr-qc].
13. Slava G. Turyshev, Nan Yu, and Viktor T. Toth, General relativistic observables for the ACES experiment, Phys. Rev. D93, 045027 (2016), arXiv: 1512.09019v2 [gr-qc].
14. R. A. Nelson, Relativistic time transfer in the vicinity of the Earth and in the Solar system, Metrologia 48, S171 (2011).
15. Bogdan G. Dimitrov, the (third) extended version of arXiv:1712.01101 [gr-qc] (contains a lot of references).
16. Bogdan G. Dimitrov, New Mathematical Models of GPS Intersatellite Communications in the Gravitational Field of the Near-Earth Space, AIP Confer. Proc. 2075, 040007 (2019); https://doi.org/10.1063/1.5091167.
Web pages: http://iaps.institute/mathematical-physics/general-relativity/
http://iaps.institute/mathematical-physics/theory-of-gps/

Заседание

A. V. Shmidt
On self-similar solutions for some problems of free turbulence

Three-dimensional far turbulent wake in a passive stratified medium,
axisymmrtric submerged turbulent jet and far swirling turbulent wake are considered using RANS approach. We use methods of a group-theoretical analisys to reduce corresponding semi-emprirical models of turbulence to systems of ordinary differential equations (ODEs). Modified shooting method and asymptotic expansion are used to solve boundary-value problems for obtained systems of ODEs. The constructed solutions are in good agreement with experimental data. Moreover, a detailed comparison with numerical solutions obtained by G. G. Chernykh with co-authors on the basis of the full models of turbulence were conducted.

Kaptsov O. V., Shmidt A. V. A three-dimensional semi-empirical model of a far turbulent wake // J. Appl. Math. Mech., 2015, V. 79, № 5, P. 459–466
Shmidt A. V. Self-Similar solution of the problem of a turbulent flow in a round submerged jet // J. of Appl. Mech. and Tech. Phys., 2015, V. 56, № 3, P. 414–419
Shmidt A. V. Similarity in the far swirling momentumless turbulent wake // J. SFU. Math. & Phys., 2020, V. 13, № 1, P. 79-86

На основе подхода RANS рассмотрены трехмерный дальний турбулентный след в пассивно-стратифицированной среде, осесимметричная затопленная турбулентная струя и дальний закрученный турбулентный след. С помощью методов теоретико-группового анализа соответствующие полуэмпирические модели турбулентности редуцируются к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Поставленные краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений решены с использованием модифицированного метода стрельбы и асимптотического разложения решения в окрестности особой точки. Построенные решения находятся в хорошем согласии с экспериментальными данными. Кроме того, было проведено детальное сопоставление с численными решениями, полученными Г. Г. Черных с соавторами на основе полных моделей турбулентности.

Заседание

S. P. Tsarev
Free interpolation of GLONASS/GPS orbits: solving a two-point boundary-value problem without solving differential equations

This talk will give a totally different view to the problem addressed in my previous talk «Discrete orthogonal polynomials: anomalies of time series and boundary effects of polynomial filters».

Using a sort of adaptive filtering we solve the problem of boundary attenuation effects of polynomial filters. The techniques we use may be classified as (elementary) machine learning.

Another facet of the GNSS (Global Navigation Satellite Systems) theory and practice exposed in this talk is the problem of interpolation of positions of GNSS satellites.

Using the data from IGS (International GNSS Service) as an example, we demonstrate a simple but unexpectedly effective technique that allows interpolation of the positions of GPS and GLONASS satellites with an accuracy of a few millimeters. It is natural to call the described interpolation technique «free» since it is not related to polynomials, nor trigonometric and other functions commonly used in standard interpolation techniques.

The free interpolation technique also allows developing much more accurate (nevertheless very simple) models of media that are important in the operation of space navigation systems: the ionosphere, troposphere, etc.

The basis for the development of this method is Big Data, accumulated over many years of operation of satellite navigation systems. We will discuss some common problems of the Big Data we use. The following conclusion turned out to be paradoxical, but real: the main problem with working with big data is that there are too few of them...

This talk is a modified version of my Russian language talk given in 2018: http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?&presentid=24129&option_lang=eng

Paper references:

1. Pustoshilov, A. S., & Tsarev, S. P. (2017). Universal coefficients for precise interpolation of GNSS orbits from final IGS SP3 data. In 2017 International Siberian Conference on Control and Communications (SIBCON) (pp. 1-6). IEEE. https://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/7998463

2. Pustoshilov, A. S., & Tsarev, S. P. (2018). Two-point free nonlinear interpolation of coordinates and velocities of navigation satellites from SP3 data. (in Russian) Achievements of Modern Radioelectronics / No. 12 — 2018 http://www.radiotec.ru/article/22602#english

3. Tsarev, S. P., Denisenko, V. V., & Valikhanov, M. M. (2018). Multidimensional free interpolation framework for high-precision modeling of slant total electron contents in mid-latitude and equatorial regions. http://elib.sfu-kras.ru/handle/2311/109067?locale-attribute=en

Заседание

Dr Karima Khusnutdinova (Department of Mathematical Sciences Loughborough University Loughborough LE11 3TU. E-mail: K. Khusnutdinova@lboro.ac.uk)
Near-integrable models for long surface and internal ring waves in stratified shear flows

In this talk I will first overview some general results concerning the effects of the parallel shear flow on long weakly-nonlinear surface and internal ring waves in a stratified fluid (e.g., oceanic internal waves generated in narrow straits and river-sea interaction zones), generalising the results for surface waves in a homogeneous fluid [1]. We showed that despite the clashing geometries of the waves and the shear flow, there exists a linear modal decomposition (separation of variables) in the far-field set of Euler equations describing the waves in a stratified fluid, more complicated than the known decomposition for plane waves [2,3]. We used it to describe the wavefronts of surface and internal waves, and to derive a 2D cylindrical Korteweg — de Vries (cKdV)-type model for the amplitudes of the waves. The distortion of the wavefronts is described explicitly by constructing the singular solution (envelope of the general solution) of a respective nonlinear first-order differential equation.

Next, we consider a two-layer fluid with a rather general depth-dependent upper-layer current (e.g. a river inflow, or a wind-generated current). In the rigid-lid approximation, we find the necessary singular solution of the nonlinear first-order ordinary differential equation responsible for the adjustment of the speed of the long interfacial ring wave in different directions in terms of the hypergeometric function [4]. This allows us to obtain an analytical description of the wavefronts and vertical structure of the ring waves for a large family of the current profiles and to illustrate their dependence on the density jump and the type and the strength of the current. We will also discuss a 2D generalisation of the long-wave instability criterion for plane interfacial waves on a piecewise-constant current [4], which on physical level manifests itself in the counter-intuitive squeezing of the wavefront of the interfacial ring wave.

Заседание

S. V. Meleshko, N. P. Moshkin, A. G. Petrova, V. V. Pukhnachev
On exact analytical solutions of equations of Maxwell incompressible viscoelastic medium

Unstationary and stationary two-dimensional flows of incompressible viscoelastic Maxwell medium with upper, low and corotational convective derivatives in the theological constitutive law are considered. A class of partially invariant solutions is analyzed. Using transition to Lagrangian coordinates, an exact solution of the problem of unsteady flow near free-stagnation point was constructed. For the model with Johnson-Segalman convected derivative and special linear dependence of the vertical component of velocity, the general solution was derived. Analysis of the analytical unstationary solution provides a new class of stationary solutions. The solutions found comprise both already known as well as substantially new solutions. Nonsingular solutions of the stress tensor at the critical point and bounded at infinity are constructed. Exact analytical formulae for the stress tensor with the Weissenberg number Wi=1/2 are obtained.

Заседание

С. П. Царев (СФУ)
Дискретные ортогональные многочлены: нахождение аномалий временных рядов и граничные эффекты полиномиальных фильтров

В докладе рассказано об одном новом результате в давно ставшей классикой теории дискретных ортогональных многочленов одной переменной: аномально быстрое убывание их значений вблизи границы для полиномов достаточно большой степени. Данный эффект резко отличает поведение дискретных ортогональных полиномов от поведения их непрерывных аналогов. Практическое значение этого результата для дискретных полиномиальных фильтров, широко применяемых для нахождения аномалий временных рядов, продемонстрировано на примере нахождения разрывов и аномальных выбросов в траекториях спутников GPS и ГЛОНАСС. Дискретные полиномиальные фильтры, с одной стороны, могут обнаруживать очень малые аномалии в разреженных временных рядах (с амплитудой порядка 10^(-11) относительно типичных значений исходных данных). С другой стороны, полученный нами общий результат ограничивает чувствительность таких фильтров вблизи границы анализируемого временного ряда. Основной проблемой при практическом применении метода было преодоление эффекта численной неустойчивости при построении соответствующих дискретных ортогональных полиномов высоких степеней.

Заседание

О. В. Капцов
Точные решения классической модели Буссинеска (солитоны, волновые пакеты, волны на солитоне)

Работа поддержана Красноярским математическим центром, финансируемым Минобрнауки РФ в рамках мероприятий по созданию и развитию региональных НОМЦ (Соглашение 075–02–2020–1631).

Заседание

А. В. Сорокин (СФУ)
Оценка объема биомассы древостоя по ослаблению сигналов навигационных спутников диапазона L1

Заседание по материалам кандидатской диссертации

О. С. Володько
Исследование характера течения в озере Шира в летний период на основе численных расчетов и натурных измерений

Заседание

М. М. Мирзаохмедов (СФУ)
Преобразование Эйлера и решение начально-краевой задачи

Заседание

О. В. Капцов
Контактные отображения дифференциальных уравнений

Заседание

В. Е. Захватаев (КНЦ)
О решениях типа локализованных импульсов уравнения Буссинеска с диссипацией

Заседание

М. М. Мирзаохмедов (СФУ)
Уравнение продольных колебаний стержня

Заседание

Ю. В. Шанько
О решениях с функциональным произволом уравнения неоднородной акустики

Заседание по материалам докторской диссертации

А. В. Шмидт
Автомодельные решения иерархии полуэмпирических моделей свободной турбулентности

Заседание по материалам докторской диссертации

И. В. Степанова
Свойства решений уравнений бинарных смесей

Заседание

О. В. Капцов, Д. О. Капцов
Солитонные и иные решения системы Буссинеска, описывающей длинные волны на мелкой воде. II

Заседание

О. В. Капцов, Д. О. Капцов
Солитонные и иные решения системы Буссинеска, описывающей длинные волны на мелкой воде

Заседание по материалам кандидатской диссертации

Е. И. Капцов (ИПМ им. М.В. Келдыша РАН)
Симметрии и законы сохранения в некоторых нелинейных моделях сплошной среды

Доклад посвящен методам исследования и построения конечно-разностных математических моделей, основанным на симметрии.

Применение методов группового анализа позволяет строить инвариантные конечно-разностные схемы, сохраняющие основные геометрические и качественные физические свойства исходных непрерывных моделей.

В докладе предлагается ряд методов построения инвариантных схем, обладающих законами сохранения, в том числе в случаях, когда исходные уравнения не допускают вариационной формулировки. Приводятся примеры инвариантных схем для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем второго порядка. Среди семейства инвариантных схем находятся также точные схемы, то есть схемы, общее решение которых совпадает с соответствующим множеством решений дифференциальных уравнений в узлах разностной сетки, плотность которых может быть произвольной.

Строятся инвариантные консервативные схемы для линейного и нелинейного волновых уравнений. Для одномерных уравнений мелкой воды с плоским дном в лагранжевых координатах приводятся инвариантные консервативные разностные схемы, обладающие законами сохранения энергии, количества вещества, импульса и движения центра масс. Проводится сравнение полученных инвариантных схем с некоторыми известными неинвариантными консервативными схемами для уравнений мелкой воды и уравнений газовой динамики, полученными ранее различными авторами.

Заседание

Д. А. Семенов (Институт биофизики СО РАН)
Можно ли использовать результаты В. О. Бытева для объяснения тонов Короткова?

Заседание

Ю. В. Шанько
Анализ показаний встроенных датчиков для прогнозирования стационарного теплового режима электронного блока

Заседание

О. В. Капцов
Однопараметрические подгруппы бесконечномерных групп Ли

Заседание

Ю. И. Геллер (СФУ)
Пространственная дисперсия света в движущихся средах и гравитационных полях

Обсуждаемые темы:
1. Методы описания пространственной дисперсии.
2. Увлечение света движущимися средами с высокой частотной дисперсией.
3. Эффективная восприимчивость изотропной движущейся среды.
4. Уравнение Френеля для волнового вектора излучения.
5. Пространственная дисперсия движущихся сред в плоском галилеевом пространстве.
6. Движение в искривленном римановом пространстве.
7. Пятимерная модель электродинамики в гравитационных полях. Сопоставление с теорией Клейна — Калуцы.
8. Постановка и обсуждение проблем.

Заседание

О. В. Капцов
Обратная задача для систем ОДУ и дробные итерации

Заседание

А. Ш. Любанова
Обратные и нелокальные задачи для уравнений и систем диффузии и фильтрации

Заседание

А. В. Шмидт
О построении автомодельных решений иерархии полуэмпирических моделей турбулентных следов и струй. II

О. В. Капцов
Доклад С. И. Кабанихина «Обратные задачи математической физики. Теория и приложения»

Заседание

А. В. Шмидт
О построении автомодельных решений иерархии полуэмпирических моделей турбулентных следов и струй

Заседание

Д. О. Капцов
Разработка интернет-магазина на ASP.NET

Д. А. Нестеров
Создание програмных комплексов в научно-исследовательской группе «Тепловых систем космических аппаратов»

В. В. Деревянко
Проект системы управления знаниями (СУЗ) АО ИСС

Заседание

О. В. Капцов
Симметрии дифференциальных идеалов и связи

Заседание

Д. А. Нестеров
Контроль теплового режима бортовой радиоэлектронной аппаратуры

Заседание

Ю. В. Шанько
Об интегрировании уравнения Шредингера

Заседание

А. В. Шмидт
К вопросу о вырождении безымпульсных турбулентных следов

Заседание

О. В. Капцов
Преобразования линейных дифференциальных уравнений

Заседание

С. П. Царев (СФУ)
Коммутирующие элементы в теле Оре отношений линейных обыкновенных дифференциальных операторов (продолжение)

Заседание

А. В. Шмидт
Обзор двух работ по автомодельным течениям дальнего турбулентного следа

Заседание

С. П. Царев (СФУ)
Коммутирующие элементы в теле Оре отношений линейных обыкновенных дифференциальных операторов

Мы рассматриваем обобщение известной теории коммутирующих линейных обыкновенных дифференциальных операторов на псевдодифференциальный случай. Естественными алгебраическими объектами для подобной теории являются формальные отношения линейных обыкновенных дифференциальных операторов (тело Оре) либо ряды типа Лорана по убывающим степеням оператора d/dx (тело И. Шура). Излагаются классические результаты Шура и их применения к рассматриваемой в докладе задаче описания коммутирующих элементов в этих двух телах, а также их связь с задачей описания почти коммутирующих троек линейных операторов с частными производными от двух переменных.

Новые результаты автора доклада включают:
— полное алгебраическое доказательство аналога теоремы Берчнала — Чаунди для почти коммутирующих троек линейных операторов с частными производными от двух переменных;
— примеры коммутирующих элементов тела Оре, для которых нет полиномиальных соотношений.

Заседание

А. Н. Остыловский (СФУ)
О гомоморфизме одной алгебраической системы

Заседание

О. В. Капцов
Типы волн уравнения Буссинеска

Заседание

О. В. Капцов
Задача об аналитической итерации

Заседание по материалам кандидатской диссертации

А. Н. Полковников (СФУ)
О спектральных свойствах операторов, порожденных некоэрцитивными эрмитовыми формами

Мы рассматриваем операторные уравнения, порожденные некоэрцитивными эрмитовыми формами, соответствующими смешанным краевым задачам с граничными условиями робеновского типа для сильно эллиптических дифференциальных операторов в произвольных областях с липшицевой границей. А именно, мы строим специальные пространства соболевского типа, порожденые этими формами и доказываем теорему вложения таких пространств в шкалу пространств Соболева — Слободецкого с положительными показателями гладкости. Используя теорему вложения, мы доказываем фредгольмовость рассматриваемых уравнений в построенных пространствах. Отметим, что в отличие от классического (коэрцитивного) случая, происходит потеря гладкости решения вблизи границы. Также теорема вложения гарантирует полноту корневых функций соответствующих операторов в данных пространствах и дает информацию о расположении соответствующих собственных чисел.

Заседание

О. В. Капцов
Инвариантные многообразия и инварианты эллиптических уравнений

Заседание

А. В. Шмидт
Инвариантное решение модели дальнего турбулентного следа с закруткой

Заседание

А. В. Шмидт
О построении автомодельных решений и иерархии полуэмпирических моделей турбулентности

Заседание

Заседание по материалам кандидатской диссертации

О. А. Шишкина (СФУ)
Многочлены Бернулли от нескольких переменных и многомерный аналог формулы Эйлера — Маклорена

Заседание

О. В. Капцов
Промежуточные системы и дифференциальные связи высших порядков

Заседание

С. В. Ершков (Государственный астрономический институт им. П. К. Штернберга)
Режимы с обострением (типа Риккати) в уравнениях механики сплошных сред

Заседание

А. В. Шмидт
Расчет дальнего турбулентного следа на основе k-omega модели

Заседание

О. В. Капцов
Дифференциальные связи для одного уравнения с частными производными

Ю. В. Шанько
Интегрирование одной переопределенной системы уравнений с частными производными

Заседание

О. В. Капцов
Пучки и окольцованные пространства

Заседание

О. В. Капцов
Векторные поля на многообразиях

Заседание

О. В. Капцов
Многообразия и касательные расслоения

Заседание

Д. О. Капцов
Редукции уравнений с частными производными к системам ОДУ

Заседание

И. В. Веревкин
Уравнения Максвелла — Блоха

Заседание

Ю. В. Шанько
Сплетающие соотношения для двух последовательностей дифференциальных операторов и точные решения одного класса уравнений в частных производных

Заседание

А. В. Шмидт
Автомодельные решения k — ω модели дальнего осесимметричного турбулентного следа

Заседание

Ю. В. Шанько
Анализ переопределенной системы, описывающей специальный класс двумерных движений идеальной жидкости. II

Заседание

Ю. В. Шанько
Анализ переопределенной системы, описывающей специальный класс двумерных движений идеальной жидкости

Заседание

О. В. Капцов
Контактные преобразования пространства бесконечных джетов

Заседание

А. В. Шмидт
Расчет дальнего турбулентного следа на основе k — ω модели

Заседание

П. В. Постникова
Межгодовая динамика гидрооптических характеристик Красноярского водохранилища

А. В. Коробко
Интеллектуализация оперативной аналитической обработки данных

Заседание

Ю. А. Пономарева, П. В. Белолипецкий
Особенности формирования и функционирования фитопланктонного сообщества нижнего бьефа Красноярской ГЭС, р. Енисей

П. В. Белолипецкий, Ю. А. Пономарева
Поиск параметров, влиящих на численность клеток

Заседание

Ю. В. Шанько
Об одной переопределенной системе уравнений двумерных движений сплошной среды. V

Заседание

И. В. Веревкин
Линейные преобразования для двумерного уравнения Шредингера

Заседание

О. В. Капцов
Итерации и функциональные уравнения

Заседание

Ю. В. Шанько
Об одной переопределенной системе уравнений двумерных движений сплошной среды. IV

Заседание

О. В. Капцов
Идеалы дифференциальных уравнений и их решения

Заседание по материалам кандидатской диссертации

Нгуен Дык Банг (Иркутский национальный исследовательский технический университет)
Моделирование гидравлических и электрических цепей на основе теории вырожденных систем интегро-дифференциальных уравнений

Работа посвящена разработке теории начальных и краевых задач для вырожденных систем интегро-дифференциальных уравнений (ИДУ). На основе этих разработок построены и исследованы модели, возникающие в теории нелинейных гидравлических и электрических цепей (ГЦ и ЭЦ). В предыдущих поколениях моделей ГЦ для расчета использовали стационарные модели, которые описываются алгебраическими уравнениями.
Разработаны численные алгоритмы решения начальных и краевых задач для вырожденных систем ИДУ на основе методов наименьших квадратов и конечно-разностных схем. Методы, применяемые в других работах при решении краевых задач для дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ), сложно адаптировать к нашим задачам. А для систем с прямоугольными матрицами коэффициентов это сделать вовсе невозможно. В большей части предыдущих работ рассматривались только замкнутые системы, у которых число уравнений равно числу компонент искомой вектор-функции.
На основе разработанных алгоритмов создан комплекс программ, предназначенный для решения краевых задач для вырожденных систем ИДУ, и начальных задач, описывающих модели ГЦ и ЭЦ с автоматическими регуляторами.

Заседание

О. В. Капцов
Алгебро-геометрические структуры бесконечнодифференцируемых уравнений с частными производными

Заседание

Ю. В. Шанько
Об одной переопределенной системе уравнений двумерных движений сплошной среды. III

Заседание

Заседание по материалам кандидатской диссертации

И. В. Веревкин
Применение метода определяющих уравнений и преобразования Эйлера — Дарбу для интегрирования уравнений в частных производных

Заседание

Ю. В. Шанько
Об одной переопределенной системе уравнений двумерных движений сплошной среды. II

Заседание

А. В. Шмидт
Асимптотическое разложение решения одной осесимметричной модели дальнего турбулентного следа

Заседание

О. В. Капцов
Многообразия и симметрии, порожденные уравнениями с частными производными

Заседание

М. В. Павлов (ФИАН, Москва)
Изомонодромные деформации и решения системы Гиббонса — Царева

Будет показано, что описание решений системы Гиббонса — Царева сводится к изомонодромным деформациям линейной спектральной задачи 2x2. Будут предъявлены такие примеры, как уравнения КдФ, Каупа — Буссинеска. Из бесконечного набора частных решений системы Гиббонса — Царева можно выбрать бесконечно много решений типа Пенлеве.

Заседание

О. В. Капцов
Алгебро-геометрические структуры аналитических уравнений с частными производными

Заседание

Заседание по материалам кандидатской диссертации

М. С. Рогозина (СФУ)
О корректности задачи Коши для полиномиальных разностных операторов

Заседание

Ю. В. Шанько
Об одной переопределенной системе уравнений двумерных движений сплошной среды

Заседание по материалам кандидатской диссертации

И. В. Веревкин
Применение метода определяющих уравнений и преобразования Эйлера — Дарбу для построения точных решений

Заседание

Заворуев Валерий Владимирович
Об оперативном экологическом информировании населения Красноярска

По данным Среднесибирского УГМС неблагоприятные метеорологические условия (НМУ) в г. Красноярске наблюдались в 2013 году в течение 27 дней, в 2014 году — 40 дней. Естественно, что в такие дни население хочет знать, во-первых, о том, чем загрязнена атмосфера, во-вторых, об уровне загрязнения, в-третьих, что предпринимать для сохранения здоровья. Возможно ли жителям краевого центра получить такую информацию?

В докладе анализируется информация двух сайтов. Один их них представляет данные Федеральной службы Росгидромета — Среднесибирское УГМС (http://meteo.krasnoyarsk.ru/), другой — краевую службу — Центр реализации мероприятий по природопользованию и охране окружающей среды Красноярского края (ЦРМПиООС) (http://krasecology.ru/).

Рассматривается мировой опыт оперативной обработки информации о загрязнении атмосферы и метеорологических условиях. Обсуждаются возможности использования имеющихся баз данных Среднесибирского УГМС и ЦРМПиООС для решения научных и прикладных экологических задач.

Заседание по материалам кандидатской диссертации

П. А. Кузнецов (ИГУ, Иркутск)
Аналитические решения краевой задачи об инициировании тепловой волны

Заседание

О. В. Капцов
Локально гладкие системы уравнений на пространстве бесконечных струй. III

Заседание

О. В. Капцов
Локально гладкие системы уравнений на пространстве бесконечных струй. II

Заседание

А. В. Шмидт
Задача динамики дальнего турбулентного следа с закруткой

Заседание по материалам кандидатской диссертации

И. В. Веревкин
Применение метода линейных определяющих уравнений и преобразований Эйлера — Дарбу для построения точных решений

Работа посвящена применению методов интегрирования линейных и нелинейных уравнений в частных производных. Рассматриваются уравнение нелинейной теплопроводности с источником, уравнение Фоккера — Планка, уравнение Шредингера и уравнение Клейна — Гордона — Фока.

Заседание

Высоцкая Галина Степановна
Динамика аномальных явлений в Мировом океане по спутниковым измерениям температуры поверхностного слоя

В настоящей работе предлагается подход к изучению динамики аномальных явлений в Мировом океане с помощью методов статистической оценки многолетних рядов спутниковых (AVHRR, SeaWiFS и MODIS) данных по температуре и концентрации хлорофилла в поверхностном слое океана за период с 1985 по 2013 годов.

Белолипецкий Павел Викторович
Гипотеза скачков – альтернативный взгляд на глобальное потепление

В данном исследовании использовалась база данных приповерхностных температурных аномалий HadCRUT4 для 1950–2013 годов с целью исследования свойств наблюдаемого глобального потепления. Целью работы было выделение краткосрочной изменчивости связанной с явлением Эль-Ниньо-Южная-Осцилляция (ЭНЮК) и изучение временной динамики и пространственных распределений остаточной температурной аномалии. Для этого вычиталась линейная проекция индекса ЭНЮК из поля приповерхностных температурных аномалий. Было найдено что остаточная динамика глобальной температуры выглядит как ступенчатая функция: три квазистационарных периода 1950–1987, 1988–1997 и 1998–2013 разделяются двумя скачками в 1987/1988 и 1997/1998 годах.

Заседание

Ю. В. Шанько
Об одной переопределенной системе уравнений двумерных движений идеальной жидкости

Заседание

Андрианова А. В.
Биотические индексы и метрики в оценке качества воды малых рек на территории природного парка «Ергаки»

Представлены доминирующие виды и группы, пространственное распределение и структурные показатели донных сообществ в малых горных водотоках, расположенных на территории природного парка <Ергаки> (юг Красноярского края). Выполнен сравнительный анализ биоиндикационных индексов и метрик, часть которых используется при определении качества воды Европейской Рамочной Водной Директивой.

Андрианова А. В., Шулепина С. П.
Анализ пространственно-временной динамики байкальских амфипод в р. Енисей

Изучено современное состояние сообществ эндемичных байкальских амфипод в р. Енисей на участке от плотины Красноярской ГЭС до устья Ангары. Рассмотрены особенности пространственного распределения и временной динамики их развития за 8-летний период.

Заседание

А. В. Шмидт
Реферирование книги: Hilbert D. “Theory of algebraic invariants”. II

Заседание

Якубайлик Татьяна Валерьевна, Компаниец Лидия Алексеевна
Комплексный подход к изучению гидрофизических характеристик замкнутых соленых стратифицированных озер (на примере оз. Шира)

Предлагается комплексный подход к исследованию неглубоких замкнутых соленых стратифицированных озер, который заключается в применении технологии вычислительного и натурного экспериментов для определения гидрофизических характеристик изучаемого объекта.

Этот подход реализован и опробован при изучении основных характеристик течения в озере Шира в летний период.

Заседание

Макарская Галина Владимировна
Особенности морфометрических и иммуногематологических показателей рыб на фоне экологических природных и антропогенных нагрузок

Постникова Полина Владимировна
Исследование функционирования водных экосистем с различными биотическими и абиотическими условиями по динамике гидробиологических показателей

Целью работы явилось изучение межгодовой динамики гидрооптических и гидробиологических величин как показателя устойчивости функционирования водных экосистем с различной степенью антропогенной нагрузки и природными условиями.
В качестве объектов исследований были выбраны: река Енисей, Красноярское водохранилище — одно из крупнейших по объёму искусственных водоёмов мира и озера Хакасии с различной степенью солености.

Современные исследования представлены за период 2000–2014 гг. Изучение распределения концентрации хлорофилла «а», а также фотосинтетической активности фитопланктона выполнено с помощью лабораторного флуориметра ЛФЛ-И. С помощью дифференциального спектрофотометра ДСФГ-2 были оценены стандартные характеристики качества воды и определены основные гидрооптические показатели.

Заседание

А. В. Шмидт
Реферирование книги: Hilbert D. “Theory of algebraic invariants”

Заседание

В. Л. Попов (МИАН)
Полтора века теории инвариантов (видеозапись семинара «Математика и ее приложения» Математического института им. В. А. Стеклова РАН)

Заседание

О. В. Капцов
Локально гладкие системы уравнений на пространстве бесконечных струй

Заседание

И. В. Веревкин
О композиции преобразований Эйлера — Дарбу

Заседание

А. В. Шмидт
Реферирование статьи: Abdulwahhab M. A. “Nonlinear self-adjointness and conservation laws of (3+1)-dimensional Burgers system in a water waves”

Заседание

Ю. В. Шанько
Об одной переопределенной системе уравнений двумерных движений сплошной среды

Заседание

Ю. В. Шанько
Реферирование книги: Stormark O. “Lie's Structural Approach to PDE Systems”. II

Заседание

О. В. Капцов
Локальный алгебраический анализ переопределенных систем уравнений с частными производными. III

Заседание

О. В. Капцов
Локальный алгебраический анализ переопределенных систем уравнений с частными производными. II

Заседание

О. В. Капцов
Локальный алгебраический анализ переопределенных систем уравнений с частными производными

Заседание по материалам кандидатской диссертации

Т. В. Якубайлик
Комплексная система моделирования гидрофизических характеристик замкнутых соленых стратифицированных озер (на примере оз. Шира)

Заседание

А. В. Шмидт
О некоторых моделях дальнего турбулентного следа с закруткой

Заседание

Ю. В. Шанько
Реферирование книги: Жибер А. В., Муртазина Р. Д., Хабибулин И. Т., Шабат А. Б. «Характеристические кольца Ли и нелинейные интегрируемые уравнения»

Заседание

Ю. В. Шанько
Реферирование книги: Stormark O. “Lie's Structural Approach to PDE Systems”

Заседание

О. В. Капцов
Системы образующих идеалов алгебры сходящихся дифференциальных рядов. II

Заседание

О. В. Капцов
Системы образующих идеалов алгебры сходящихся дифференциальных рядов

Заседание

Е. И. Ганжа (КГПУ)
Сплетающие преобразования Лапласа линейных уравнений в частных производных

Заседание

И. В. Веревкин
Преобразование Эйлера – Дарбу и построение фундаментальных решений

Заседание

С. П. Царев (СФУ), М. В. Павлов (ФИАН)
Classical Mechanical Systems with one-and-a-half Degrees of Freedom and Vlasov Kinetic Equation

Заседание

А. В. Шмидт
Об автомодельных решениях задачи осесимметричной турбулентной струи

Заседание

Ю. В. Шанько
Об одной переопределенной системе уравнений двумерных движений сплошной среды

Заседание

И. В. Веревкин
Построение фундаментальных решений методом Эйлера – Дарбу

Заседание

А. В. Шмидт
Об одной трехмерной полуэмпирической модели дальнего турбулентного следа в линейно стратифицированной среде

Заседание

Е. И. Ганжа (КГПУ)
Преобразование Лапласа для дифференциальных уравнений с частными производными в многомерном случае

Заседание

С. П. Царев (СФУ)
История понятия случайной последовательности

Заседание

П. В. Белолипецкий
1. Гипотеза о смене климатических режимов в XX веке. 2. О методе выявления причинности и возможном его применении

Заседание

И. В. Веревкин
Преобразование Эйлера – Дарбу обобщенных решений дифференциальных уравнений

Заседание

И. В. Веревкин
О преобразованиях Эйлера – Дарбу обобщенных решений

Заседание

Ю. В. Шанько
О функционально-инвариантных решениях класса 2 уравнения двумерной акустики. IV

Заседание

Е. Д. Карепова, Е. В. Дементьева (докладчик)
Численное решение задачи о граничной функции для уравнений мелкой воды

Заседание

Заседание по материалам кандидатской диссертации

Т. В. Якубайлик
Комплексная система контроля гидрофизических характеристик оз. Шира

Для изучения гидрофизических характеристик оз. Шира применен комплексный подход, включающий в себя натурные измерения с помощью современных измерительных приборов и методов, и математическое моделирование (нахождение аналитических решений упрощенных моделей движения жидкости, численные расчеты). В рамках такого подхода выявлены основные характеристики течения в озере в летний период

Заседание по материалам кандидатской диссертации

В. А. Красиков (СФУ)
Дифференциальные многочлены с заданными решениями и аналитическая сложность голоморфных функций

Заседание

Ю. В. Шанько
О функционально-инвариантных решениях класса 2 уравнения двумерной акустики. III

Заседание

И. В. Веревкин
Реферирование статьи: M. S. Hashemi, M. C. Nucci, “Nonclassical symmetries for a class of reaction-diffusion equations: the method of heir-equations”

Заседание

С. П. Царев (СФУ)
Об интегрируемых динамических системах на плоскости и в пространстве

Заседание

Ю. В. Шанько
О функционально-инвариантных решениях класса 2 уравнения двумерной акустики. II

Заседание

А. В. Шмидт
Об аппроксимации численного решения одной модели турбулентности. II

Заседание

Ю. В. Шанько
О функционально-инвариантных решениях класса 2 уравнения двумерной акустики

Заседание

О. В. Капцов
Стандартные базисы дифференциальных колец

Заседание

О. В. Капцов
О теории переопределенных систем дифференциальных уравнений. II

Заседание

О. В. Капцов
Стандартные дифференциальные базисы

Заседание

И. В. Веревкин
Решения диффузионных уравнений

Заседание

О. В. Капцов
О теории переопределенных систем дифференциальных уравнений. I

Заседание

О. В. Капцов
Об одном обобщении теоремы Фробениуса

Заседание

Ю. В. Шанько
Реферирование докторской диссертации А. Г. Меграбова «Дифференциальные инварианты и спектральный метод в прямых и обратных задачах с переменными коэффициентами»

Заседание

А. В. Шмидт
Об аппроксимации численного решения одной модели турбулентности

Заседание

Ю. В. Шанько
О некоторых обобщенных функционально-инвариантных решениях одного уравнения двумерной акустики. II

Заседание

Ю. В. Шанько
О некоторых обобщенных функционально-инвариантных решениях одного уравнения двумерной акустики

Заседание

И. В. Веревкин
Реферирование статьи К. А. Волосова, Е. К. Вдовиной, А. К. Волосовой «Свежий взгляд на теорию нелинейной диффузии и теплопроводности»

Заседание

О. В. Капцов
Алгебраические подходы к совместности уравнений с частными производным

Заседание

А. В. Шмидт
Модель осесимметричной турбулентной струи

Заседание

М. В. Соснин (КрасГАУ)
Применение теории категорий в задачах дифференциальной алгебры

Заседание

О. В. Капцов
Регулярные точки систем уравнений с частными производными. II

Заседание

О. В. Капцов
Регулярные точки систем уравнений с частными производными

Заседание по материалам кандидатской диссертации

О. С. Питальская
Верификация математических моделей движения жидкости в замкнутом водоеме

Заседание

О. В. Капцов
О понятии пассивности для систем дифференциальных уравнений

Заседание

М. В. Соснин (КрасГАУ)
О расширениях Лиувилля дифференциальных полей (продолжение)

Заседание

Ю. В. Шанько
Об обобщенных функционально-инвариантных решениях одного уравнения двумерной акустики

Заседание

М. В. Соснин (КрасГАУ)
О расширениях Лиувилля дифференциальных полей

Заседание

Е. И. Ганжа (КГПУ им. В. П. Астафьева)
Мультиинтегралы Эйлера в кольцах псевдодифференциальных операторов (продолжение)

Заседание

И. В. Веревкин
О краевых задачах для параболических уравнений

Заседание

Е. И. Ганжа (КГПУ им. В. П. Астафьева)
Мультиинтегралы Эйлера в кольцах псевдодифференциальных операторов

Заседание

О. В. Капцов
Теоремы о конечности цепи сизигий

Заседание

О. В. Капцов
Метод Лапласа – Мутара интегрирования нелинейных уравнений

Заседание

И. В. Веревкин
О краевых задачах для уравнений тепло- и тепломассопереноса

Заседание

А. В. Шмидт
Обзор книги Юн А.А. «Моделирование турбулентных течений»

Заседание

О. В. Капцов
Алгебраические подходы к инволютивности уравнений в частных производных (продолжение)

Заседание

О. В. Капцов
Алгебраические подходы к инволютивности уравнений в частных производных (продолжение)

Заседание

О. В. Капцов
Алгебраические подходы к инволютивности уравнений в частных производных

Заседание

И. В. Веревкин
Обзор книги Кокс Д., Литтл Дж., О'Ши Д. «Идеалы, многообразия и алгоритмы». IV

Заседание

И. В. Веревкин
Обзор книги Кокс Д., Литтл Дж., О'Ши Д. «Идеалы, многообразия и алгоритмы». III

Заседание

И. В. Веревкин
Обзор книги Кокс Д., Литтл Дж., О'Ши Д. «Идеалы, многообразия и алгоритмы». II

Заседание

И. В. Веревкин
Обзор книги Кокс Д., Литтл Дж., О'Ши Д. «Идеалы, многообразия и алгоритмы»

Заседание

А. В. Шмидт
Интегрирование трехмерной модели турбулентности с ненулевым импульсом

Заседание

О. В. Капцов
Преобразования решений линейных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами

Заседание

Ю. В. Шанько
Об обобщенных функционально-инвариантных решениях одного уравнения акустики

Заседание

Распространение радиоволн над поверхностью Земли

Заседание

О. В. Капцов
Нелинейные системы уравнений в частных производных с конечномерным многообразием решений

Заседание

Д. О. Капцов
Численное интегрирование уравнений движения небесных тел

Заседание

О. В. Капцов
Категорный подход к исследованию совместности дифференциальных уравнений (продолжение)

Заседание по материалам докторской диссертации

В. А. Юмагужин (Институт программных систем РАН)
Методы вычисления дифференциальных инвариантов и их приложения к исследованию дифференциальных уравнений

Заседание

Ю. В. Шанько, С. П. Царев (СФУ)
Высокоточные расчеты траекторий в ГЛОНАСС

Заседание

О. В. Капцов
Категорный подход к исследованию совместности дифференциальных уравнений

Заседание по материалам кандидатской диссертации

И. А. Ефремов (СФУ)
Автомодельные решения шести моделей турбулентности

Заседание

И. В. Коростелев
Краевые задачи для уравнений неоднородной акустики

Заседание

О. В. Капцов
Оценка размерности многообразия решений нелинейной переопределенной системы уравнений с частными производными

Заседание по материалам кандидатской диссертации

А. Ю. Казаков (ИГиЛ СО РАН)
Ветвление решений задачи о сопряженных стратифицированных течениях

Заседание

С. П. Царев (СФУ)
Чебышевские приближения, эллиптические биллиарды и задача Неймана для гиперболического уравнения

Заседание

А. А. Шлапунов (СФУ)
Комплексы Спенсера и переопределенные системы (продолжение)

Заседание

А. А. Шлапунов (СФУ)
Комплексы Спенсера и переопределенные системы

Заседание

А. В. Пургин (КГПУ)
Решетки правых делителей линейных обыкновенных дифференциальных операторов

Заседание

И. В. Коростелев
Преобразования Эйлера и решение начально-краевых задач линейных гиперболических уравнений

Заседание

И. А. Ефремов (СФУ)
Турбулентный след за телом

Заседание

И. А. Ефремов (СФУ)
Модели дальнего турбулентного следа

Заседание по материалам докторской диссертации

Т. М. Садыков (СФУ)
Гипергеометрические функции многих комплексных переменных (Продолжение)

Заседание

С. П. Царев (СФУ), Е. С. Шемякова (Research Institute for Symbolic Computation, J. Kepler University, Linz, Austria)
Дифференциальные преобразования параболических операторов второго порядка на плоскости

В данной работе мы распространяем классические результаты Дарбу о преобразованиях с помощью дифференциальных подстановок с гиперболического случая на параболический. Доказана общая теорема, позволяющая находить преобразования для параболических уравнений второго порядка на плоскости. Как оказывается, при этом преобразующие операторы высокого порядка всегда могут быть представлены в виде композиции операторов первого порядка.

Заседание по материалам докторской диссертации

Т. М. Садыков (СФУ)
Гипергеометрические функции многих комплексных переменных. II

Заседание по материалам докторской диссертации

Т. М. Садыков (СФУ)
Гипергеометрические функции многих комплексных переменных

Заседание

Е. И. Ганжа (КГПУ)
Интегралы и мультиинтегралы типа Эйлера для линейных уравнений с частными производными