| ИВМ СО РАН | Поиск |
| Семинары Института |
Математические модели и методы интегрированияЗаседаниечетверг, 22 декабря 2022 г., 18:00, онлайн
С. П. Царев (СФУ)
Этот доклад посвящен старой теме поиска решений «в явном виде» (без квадратур) НЕДООПРЕДЕЛЕННЫХ систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, начатой Г. Монжем в 1784 г. и исследовавшейся позже Гурса (1905 г.), Гильбертом (1913 г.) и Картаном (1914 г.).
В последние десятилетия ХХ века эта проблема привлекла внимание специалистов по нелинейному управлению. В частности, техника решения этой задачи использовалась при разработке алгоритмов управления неголономными механическими системами. Типичным примером такой системы является грузовик с N прицепами. Парковка такого движущегося назад «автопоезда» — популярная непростая задача! Современные результаты, основанные на старых исследованиях Гурса, сделали возможным автоматическое управление такими транспортными средствами. Для интересующихся проблемой интегрирования ОДУ и УрЧП «в явном виде»: используя упомянутые выше результаты, часто можно удалить излишние квадратуры в окончательных выражениях для полного решения C-интегрируемых нелинейных УрЧП. Мы (вынужденно кратко) представим в докладе как классические результаты Монжа, Картана и Гильберта, так и современные аспекты и обсудим интригующие детали проблемы Монжа. Заседаниечетверг, 8 декабря 2022 г., 18:00, онлайн
А. Д. Юнаковский (Институт прикладной физики РАН, Нижний Новгород )
Появление суперкомпьютеров позволило моделировать многомерные НУШ и выявило новые проблемы: потребовались новые распараллеливаемые алгоритмы.
Для уравнений «параболического» типа, к которым относится нестационарное уравнение Шредингера, численные схемы обладают очень жесткими условиями устойчивости: Δt < Δx^2, что, по сути дела, при измельчении сетки замедляет решение задачи. Помимо этого, в уравнениях типа НУШ высокие пространственные гармоники не затухают с течением времени, а имеют быстро меняющиеся фазы, что приводит даже при «относительно мягком» условии устойчивости к явлению случайных фаз. Дается обзор сеточных и спектральных методов нахождения приближенных решений НУШ, анализируются возможности применения БПФ. Обсуждается проблема увеличения шага счета по времени и типичные ошибки. Даются краткие обзоры использования метода операторной экспоненты и метода неотражающих граничных условий. Обсуждаются возможности метода гиперболизации для НУШ, Заседаниечетверг, 24 ноября 2022 г., 18:00, онлайн
С. М. Чурилов (Институт солнечно-земной физики СО РАН, Иркутск)
В линейном приближении исследуется устойчивость резко стратифицированных (l << L, где l и L = 1 — вертикальные масштабы изменения плотности и скорости) сдвиговых течений, скорость которых V_x = U_z монотонно растет без точек перегиба от нуля на дне (z = 0) до 1 при z → +∞, U'(0) = 1. Показано, что в пределе скачка плотности (l = 0) течения с U'' < 0 имеют на плоскости (волновое число k — параметр Ричардсона J) область неустойчивости универсального вида, ограниченную осью абсцисс (J = 0), дисперсионной кривой J = J(k,c = 1) и соединяющим их отрезком оси ординат (k = 0), где c — фазовая скорость волны. Изучена роль точек нулевой кривизны на профиле скорости (в которых U'' = 0, но знак не меняет) в трансформации такой области неустойчивости в область неустойчивости течения с кусочно-линейным профилем скорости.
Показано, что в непрерывно стратифицированных течениях с 0 < l << 1 появляется счетное множество мод колебаний J = J_m(k,c), m = 0, 1, 2,.... Продольные (не зависящие от y ) волны при каждом m имеют область неустойчивости, простирающуюся от своей верхней границы, J = J_0^{(+)}(k) = J_0(k,c=1) = O(1) или J = J_m^{(+)}(k) = J_m(k,c=1) = O(m^2/l), m \ge 1 до соответствующей нижней границы, J = J_0^{(-)}(k) > 0, где J_0^{(-)}(k) = O(l^2), при l < k < 1, или J = J_m^{(-)}(k) > 0, где J_m^{(-)}(k) = O(m^2l), при l^{3/2} < k < l^{1/2}, m \ge 1. В силу теоремы Сквайра нижние «полосы устойчивости» (между J_m^{(-)}(k) и осью абсцисс) заполняют неустойчивые косые волны. При значениях параметра J в диапазоне от O(l^2) до O(l) продольные и косые неустойчивые волны успешно конкурируют, и возбуждается широкий спектр трехмерных неустойчивых волн с близкими продольными фазовыми скоростями и сравнимыми инкрементами. Заседаниечетверг, 10 ноября 2022 г., 18:00, онлайн
Н. А. Кудряшов (МИФИ)
Обсуждается применение теста Пенлеве для анализа нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Дается краткий обзор классических работ С. В. Ковалевской решения задачи о движении твердого тела с неподвижной точкой и работ П. Пенлеве по классификации одного класса уравнений второго порядка. На хорошо известном примере уравнения Кортевега — де Фриза в переменных бегущей волны иллюстрируется свойство Пенлеве для нелинейного осциллятора. Особое внимание уделено неинтегрируемым уравнениям в частных производных таким как уравнение Кортевега — де Фриза — Бюргерса и уравнение Курамото — Сивашинского. С использованием переменных бегущей волны иллюстрируется построение аналитических решений этих уравнений. Обсуждаются возможные варианты применения метода простейших уравнений для построения аналитических решений неинтегрируемых дифференциальных уравнений. Иллюстрируется применение метода для построения оптических солитонов обобщенного нелинейного Шредингера произвольного порядка с нелинейностью в виде полинома.
Заседаниечетверг, 27 октября 2022 г., 18:00, онлайн
А. Б. Борисов, Д. В. Долгих (Институт физики металлов УрО РАН, Екатеринбург)
В докладе для интегрирования двумерного уравнения Гейзенберга и трехмерной киральной SU(2) модели применяется дифференциально–геометрический метод интегрирования, суть которого состоит в следующем. Вначале совершаем преобразование годографа, т.е. меняем роль зависимых и независимых координат. В отличие от стандартного преобразования годографа, мы не просто вводим производные от прежних координат по новым, а определяем через эти производные новые поля, связанные с компонентами метрического тензора, который появляется при осуществлении преобразования годографа. Поскольку первоначальные независимые координаты были евклидовы, тензор кривизны в терминах введенной метрики должен обращаться в нуль. В конечном счете, получаем самосогласованную систему уравнений для расчета компонент метрического тензора. При этом уравнения, гарантирующие обращение в нуль тензора кривизны, оказываются главными, а система нелинейных уравнений моделей их редукцией. Решения построенных уравнений позволяют записать в виде неявных функций решения исходных моделей. Важно, что дифференциально–геометрический метод интегрирования модели, основанный на вложении нелинейного уравнения в частных производных в определенную дифференциальную связь в евклидовом пространстве, позволяет проанализировать множество разнообразных пространственных структур, изучение которых другими методами крайне затруднительно. Найденные решения в киральной SU(2) модели описывают трехмерные конфигурации, содержащие, в частности, пространственные вихри, источники, нелокализованные текстуры и структуры со степенью отображения равной единице, сходные с топологическими солитонами. В модели Гейзенберга мы находим вихревую полоску (ограниченную вихревую область в плоскости). Многие из полученных решений зависят от произвольных функций.
Заседаниечетверг, 13 октября 2022 г., 18:00, онлайн
О. В. Капцов
We consider a system of two-dimensional Euler equations describing the motions of an inviscid incompressible fluid. It reduces to one non-linear equation with partial derivatives of the third order. A group of point transformations allowed by this equation is found. Some invariant solutions and solutions not related to invariance are constructed. The solutions found describe vortices, jet streams, and vortex-like formations.
Заседаниечетверг, 6 октября 2022 г., 18:00, онлайн
Ю. В. Шанько Заседаниечетверг, 29 сентября 2022 г., 18:00, онлайн
Н. И. Макаренко (ИГиЛ СО РАН, Новосибирск)
Рассматриваются три круга постановок, связанных с построением и анализом асимптотических решений уравнений Эйлера невязкой неоднородной жидкости.
1. Стационарные решения типа уединенных и периодических волн в непрерывно стратифицированной жидкости и их предельные режимы. 2. Параметрические семейства решений 2,5–слойной модели нелинейных длинных волн и их приложения в океанологии. 3. Стационарные волновые структуры и захваченные уединенные волны в течениях над неровным дном. Заседаниечетверг, 26 мая 2022 г., 18:00, онлайн
А. В. Слюняев (Институт прикладной физики РАН, Нижний Новгород)
Предлагается обзор исследований, связанных с т.н. морскими волнами-убийцами — неожиданно высокими волнами, по некоторым данным появляющимися слишком часто, чем ожидается. Формулируется проблема океанологии в ее сегодняшнем понимании, обозначаются направления исследований и поставленные перед ними задачи, обсуждаются уже полученные результаты.
Заседаниечетверг, 19 мая 2022 г., 18:00, ауд. 434
А. В. Шмидт
Рассматривается полуэмпирическая модель дальнего плоского безымпульсного турбулентного следа. Построено приближенное решение, согласующееся с численным автомодельным решением, найденным с привлечением теоретико-группового анализа дифференциальных уравнений и метода стрельбы.
Заседаниечетверг, 12 мая 2022 г., 19:00, онлайн
K. R. Helfrich (Woods Hole Oceanographic Institution, USA), L. A. Ostrovsky (University of Colorado, USA), Yu. A. Stepanyants (University of Southern Queensland, Australia)
We present the results of the recent study of dynamics of nonlinear oceanic solitary waves under the influence of the combined effects of nonlinearity, Earth’s rotation, and depth inhomogeneity. Our consideration is based on the extended model of the Korteweg–de Vries (KdV) equation that in general accounts for the quadratic and cubic nonlinearity (the Gardner equation) with the additional terms incorporating the effects of rotation and slowly varying depth. After a brief historical outline, using the asymptotic (adiabatic) theory, we describe a complex interplay between these factors. As an application, the case of a two-layer fluid with the variable-depth lower layer is considered using the approximate theory, as well as through numerical solutions of the governing equation that includes all the above factors under realistic oceanic conditions. In particular, different scenarios of the soliton propagating toward the “internal beach” (e.g., zero lower-layer depth) are studied in which the terminal damping can be caused by radiation or disappearing quadratic nonlinearity (when the layers’ depths become equal). We also consider interaction of a soliton with a long wave providing the energy “pump” compensating the radiation losses due to rotation so that the soliton can exist infinitely. The limitations of the adiabatic approach due to the radiation and other factors are also demonstrated.
Заседание по материалам кандидатской диссертациичетверг, 28 апреля 2022 г., 18:00, онлайн
З. В. Макридин (ИГиЛ, Новосибирск)
В настоящей диссертации рассматриваются два типа задач математической теории нелинейных волн. Первый тип связан с построением семейств асимптотических периодических решений системы слабосвязанных обыкновенных дифференциальных уравнений, которая получается при переходе к бегущей переменной в модельной системе зацепленных уравнений Кортевега — де Фриза. В задачах второго типа исследуются способы построения трехмерных законов сохранения коммутирующих интегрируемых гидродинамических цепочек и их редукций.
Заседаниечетверг, 14 апреля 2022 г., 18:00, онлайн
А. Б. Борисов (Институт физики металлов УрО РАН, Екатеринбург)
Трехмерная O(3) модель для единичного вектора n(r) имеет многочисленные применения в теории поля и физике конденсированных сред. Показано,что эта модель в стационарном случае интегрируема при некоторой дифференциальной связи (определенных ограничениях на градиенты полей Θ(r), Φ(r), параметризующих вектор n(r)). При наличии дифференциальной связи уравнения модели редуцируются к одномерному уравнению sin–Gordon, определяющему зависимость поля Θ(r) от вспомогательного поля 𝑎(r), и систему двух уравнений (∇𝑆)(∇𝑆) = 0, Δ𝑆 = 0 для комплекснозначной функции 𝑆(r) = 𝑎(r) + iΦ(r). Показано, что непосредственное решение этой системы дает все известные ранее точные решения модели: двумерные магнитные инстантоны и трехмерные структуры типа ежей.
Показано, что найденное таким образом точное решение системы для поля 𝑆(r) приводит к точному решению уравнений 𝑂(3)–модели в виде произвольной неявной функции от двух переменных. Обсуждается два простейших решений этих уравнений: новая магнитная структура, которая представляет две прямолинейные пересекающиеся вихревые нити и структуру типа «включения». Исследована интегрируемость динамических уравнений O(3)-модели в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве-времени Использована дифференциальная подстановка, сводящая эти уравнения к одномерному уравнению синус-Гордон и системе из двух уравнений для комплексной функции S(r,t), которая однозначно определяет вектор n(r,t). Доказано, что решение уравнений для этой функции сводится к решению системы четырех квазилинейных уравнений для вспомогательных полей. Получено их точное решение в виде неявной функции от двух переменных, которая определяет точные решения динамических уравнений O(3)-модели с учетом дифференциальных связей. В качестве примера описаны динамика плоского вихря в пространстве R2, структура типа “ежа” и новой динамической топологической структуры. Литература 1. А. Б. Борисов. Трехмерные вихри в модели Гейзенберга, ТМФ, 2021, том 208, номер 3, 471–480 (A. B. Borisov. Three-Dimensional Vortices in the Heisenberg Model. Theoretical and Mathematical Physics, 208(3): 1256–1264 (2021)). 2. А. Б. Борисов. Об интегрируемости 𝑂(3)–модели. Уфимский математический журнал. Том 13. № 2 (2021). С. 6-10 (А. B. Borisov, On integrability of O(3)–model, Ufimsk. Mat. Zh., 2021, Volume 13, Issue 2, 6–10). 3. А. Б. Борисов. Динамика трехмерных магнитных структур в модели Гейзенберга. ТМФ, 2022, том 210, номер 1, страницы 115–127 (A. B. Borisov. Dynamics of Three-Dimensional Magnetic Structures in the Heisenberg Model. Theoretical and Mathematical Physics, 210(1): 99–110 (2022)). Заседаниечетверг, 31 марта 2022 г., 18:00, онлайн
С. П. Царев (СФУ)
Данный доклад будет посвящен интерпретации недавнего доклада С. М. Чурилова и Ю. А. Степанянца (Безотражательное распространение поверхностных волн на мелкой воде в канале переменной ширины и глубины на фоне неоднородного течения, https://researchseminars.org/talk/mmandim/35/) с точки зрения теории обобщенной факторизации дифференциальных операторов ([1]).
Как показано в работах С. М. Чурилова, Ю. А. Степанянца и др. ([2]), факторизация оператора второго порядка с двумя независимыми переменными, описывающего распространение волн в неоднородной одномерной среде, в произведение операторов первого порядка приводит к появлению большого семейства решений, описывающих с физической точки зрения волны, которые можно считать распространяющимися без отражения от неоднородностей. Мы расскажем о теории обобщенной факторизации операторов с частными производными второго порядка, ведущей свое начало от работ выдающихся математиков XIX — начала XX века П.-С. Лапласа, Г. Дарбу, Э. Гурса и др. и получившей дальнейшее развитие в конце XX века. Обобщенная теория факторизации позволяет существенно расширить класс безотражательных решений. References: [1] Е. И. Ганжа, С. П. Царев, «Классические методы интегрирования гиперболических систем и уравнений второго порядка», 2007 (КГПУ), http://dx.doi.org/10.13140/2.1.4535.8084 Полный текст доступен по ссылке: https://www.researchgate.net/profile/Sergey-Tsarev/publication/235993531_Klassiceskie_metody_integrirovania_giperboliceskih_sistem_i_uravnenij_vtorogo_poradka/links/0c96051550c72803c2000000/Klassiceskie-metody-integrirovania-giperboliceskih-sistem-i-uravnenij-vtorogo-poradka.pdf [2] Churilov, Semyon M., and Yury A. Stepanyants. «Reflectionless wave propagation on shallow water with variable bathymetry and current». Journal of Fluid Mechanics 931 (2022). Заседаниечетверг, 17 марта 2022 г., 18:00, онлайн
O. V. Kaptsov
The Euler equations describing two-dimensional steady flows of an inviscid fluid are studied. These equations are reduced to one equation for the stream function and then, using the Hirota function, solutions of three nonlinear elliptic equations are found. The solutions found are interpreted as sources in a rotating fluid, jets, chains of sources and sinks, vortex structures. We propose a new simple method for constructing solutions in the form of rational expressions of elliptic functions. It is shown that the flux of fluid across a closed curve is quantized in the case of the elliptic Sin-Gordon equation.
Заседаниечетверг, 3 марта 2022 г., 18:00, онлайн
Ю. В. Брежнев (ТГУ)
Странность этого утверждения только кажущаяся и оно может быть сформулировано даже более экстравагантно. Мы даем «единственно правильное» понимание, которое стоит за реальным смыслом теоремы Пифагора. Хотя речь идет о классическом математическом утверждении, его переформулировка мотивирована квантовой темой. А именно, проблемой понимания и вывода знаменитого правила квантовой вероятности — правила Борна, — которое записывается через квадрат модуля |a|^2. Если кратко, то «почему квадрат»? Есть прямой ответ на этот вопрос, а появление этих квадратов, модулей и двоек — комплексной и обычной вещественной — оказываются совершенно однотипным.
Ключевыми словами к материалу является задача последовательного логического построения исчисления (calculus) на векторном пространстве. Тогда рассмотрение известных правил параллелограмма, неравенства треугольника, понятия углов, аксиом скалярного произведения, нормы, топологий и т.д. достаточно заменить на задачу построения количественных величин на векторах. Отсюда будет следовать сначала собственно Пифагорово утверждение и только потом (!) — вышеуказанные объекты. Теорема, при этом, перестает быть теоремой, превращаясь, грубо говоря, в некоторое естественное минималистическое определение; подробности последуют. Сам квадрат в «теореме» появляется как единственно возможное следствие. Перечисленные выше элементы школьной геометрии становятся, в свою очередь, производными от Пифагорова квадрата, с последующей ревизией первичности понятия длины. С квантовыми (комплексными) аналогами — ситуация точно такая же. Более того, именно количественно-статистическая идеология и природа квантового правила Борна дает подсказку к «новому взгляду на» и наиболее убедительные «объяснения к» этой древней греческой теореме. Заседаниечетверг, 17 февраля 2022 г., 18:00, онлайн
С. М. Чурилов (Институт солнечно-земной физики СО РАН, Иркутск), Ю.А Степанянц (Университет Южного Квинсленда, Тувумба, Австралия)
В приближении мелкой воды рассмотрена линейная задача о распространении поверхностных волн на фоне неоднородного течения идеальной жидкости в канале с изменяющимися вдоль потока шириной W(x) и глубиной H(x) [1,2]. Найдены три вида соотношений, связывающих скорость течения U(x) и скорость распространения волн c(x) = sqrt(gH(x)), таких, что при выполнении любого из них волны произвольной формы распространяются без отражения как по течению, так и против него. В соответствии с этим выделены три класса безотражательных течений и исследованы их свойства. В течениях класса А скорости течения и волн связаны простым соотношением c(x)U(x) = П = const, обеспечивающим распространение волн без отражения на любые расстояния, т.е. вдоль всей оси x. В течениях классов В и С скорости связаны дифференциальным уравнением первого порядка (своим в каждом классе), которое имеет особые точки. Поэтому здесь в общем случае регулярные решения существуют лишь на ограниченных интервалах изменения x (луче или конечном интервале). Для каждого класса найдены условия, при которых есть регулярные решения на всей оси x. Кроме того, показано, что можно конструировать и «составные» безотражательные течения класса В. Общий анализ проблемы проиллюстрирован решениями для конкретных соотношений между глубиной и скоростью течения.
Публикации 1. Churilov S. M., Stepanyants Yu. A. Reflectionless wave propagation on shallow water with variable bathymetry and current. J. Fluid Mech. 931, A 15, 2022; arXiv:2108.12549v2 [physics.flu-dyn], 2021. 2. Churilov S. M., Stepanyants Yu. A. Reflectionless wave propagation on shallow water with variable bathymetry and current. II. arXiv: 2201.00307v1 [physics.flu-dyn], 2022. Заседаниечетверг, 3 февраля 2022 г., 18:00, онлайн
Ю. А. Степанянц (Университет Южного Квинсленда, Тувумба, Австралия)
Рассматривается формирование солитонов огибающей из солитонов Кортевега–де Вриза (КдВ) в процессе долговременной эволюции в рамках уравнения Островского. Это уравнение было выведено Л. А. Островским в 1978 г. для описания слабо нелинейных океанских волн, находящихся под влиянием вращения Земли. Впоследствии выяснилось, что это уравнение достаточно универсально; в настоящее время оно широко используется для описания нелинейных волн в различных средах. Это уравнение, по-видимому, неинтегрируемо и даже не имеет стационарных решений в виде уединенных волн применительно к средам с отрицательной мелкомасштабной дисперсией. Как было показано в работе Гримшоу и Хелфрика (Grimshaw, Helfrich, 2008), длительная эволюция начальных импульсов в виде солитона КдВ малой амплитуды приводит к возникновению солитонов огибающей, которые могут быть описаны нелинейным уравнением Шредингера (НУШ). Однако обобщенное нелинейное уравнение Шредингера, полученное в работе Гримшоу и Хелфрика, приводит к решениям, противоречащим результатам численного моделирования. Позднее в нашей работе с Гримшоу (Гримшоу и Степанянц, 2020), эта проблема была заново исследована и было показано, что волновой пакет, асимптотически возникающий после долговременной эволюции солитона КдВ, может быть описан обычным уравнением НУШ. Полученное решение для солитона огибающей хорошо согласуется с результатами численного моделирования.
Заседаниечетверг, 20 января 2022 г., 18:00, онлайн
К. П. Дружков (МГУ)
В докладе будут рассмотрены стационарные уравнения пограничного слоя в эйлеровых переменных (при постоянном давлении поступательно движущегося внешнего потока). Для этой системы уравнений будет дано полное решение обратной задачи вариационного исчисления: будет показано, что не существует ни одного функционала действие, такого что:
1) среди его стационарных точек содержатся все решения данной системы (и, быть может, что-нибудь ещё), 2) определяемое им соответствие из теоремы Нётер нетривиально. Заседаниевторник, 11 января 2022 г., 18:00, онлайн
О. В. Капцов |
| Webmaster |